Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 5156
i

В раз­ло­же­нии  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: y конец дроби плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни m ко­эф­фи­ци­ент 4-го члена от­но­сит­ся к ко­эф­фи­ци­ен­ту 6-го члена, как 5 : 18. Опре­де­лить в этом раз­ло­же­нии член, не за­ви­ся­щий от y.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Общим чле­ном би­но­ма  левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни n на­зы­ва­ет­ся сла­га­е­мое T_k плюс 1 = C_n в сте­пе­ни k a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус k пра­вая круг­лая скоб­ка b в сте­пе­ни k . В нашем слу­чае:

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: y конец дроби плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни m = левая круг­лая скоб­ка y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни m = \sum_k=0 в сте­пе­ни m C_m в сте­пе­ни k левая круг­лая скоб­ка y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка m минус k пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни k = \sum_k=0 в сте­пе­ни m C_m в сте­пе­ни k y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус m пра­вая круг­лая скоб­ка y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = \sum_k=0 в сте­пе­ни m C_m в сте­пе­ни k y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k минус m пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­это­му

T_k плюс 1 = C_m в сте­пе­ни k y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k минус m пра­вая круг­лая скоб­ка .

Не за­ви­сит от y член, для ко­то­ро­го по­ка­за­тель сте­пе­ни пе­ре­мен­ной равен нулю. Из урав­не­ния  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k минус m = 0 на­хо­дим, что k = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби m. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый член равен C_m в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби m пра­вая круг­лая скоб­ка . Оста­лось найти m.

За­пи­шем от­но­ше­ние ко­эф­фи­ци­ен­тов чет­вер­то­го и ше­сто­го чле­нов раз­ло­же­ния и упро­стим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние:

C_m в кубе : C_m в сте­пе­ни 5 = дробь: чис­ли­тель: m!, зна­ме­на­тель: 3! левая круг­лая скоб­ка m минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ! конец дроби : дробь: чис­ли­тель: m!, зна­ме­на­тель: 5! левая круг­лая скоб­ка m минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка ! конец дроби = дробь: чис­ли­тель: m!, зна­ме­на­тель: 3! левая круг­лая скоб­ка m минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ! конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5! левая круг­лая скоб­ка m минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка !, зна­ме­на­тель: m! конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5! левая круг­лая скоб­ка m минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка !, зна­ме­на­тель: 3! левая круг­лая скоб­ка m минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ! конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка m минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка m минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби ,

где m  — на­ту­раль­ное число, не мень­шее 5. По усло­вию, най­ден­ное от­но­ше­ние равно  дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: конец дроби 18, от­ку­да на­хо­дим:

 дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка m минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка m минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка m минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка m минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = 72.

Число 72 един­ствен­ным об­ра­зом пред­став­ля­ет­ся в виде про­из­ве­де­ния иду­щих под­ряд на­ту­раль­ных чисел: 8 умно­жить на 9 = 72, по­это­му един­ствен­ное ре­ше­ние урав­не­ния  — число m = 12, оно боль­ше 5.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мый член раз­ло­же­ния равен

C_12 в сте­пе­ни 8 = дробь: чис­ли­тель: 12!, зна­ме­на­тель: 4! 8! конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 умно­жить на 10 умно­жить на 11 умно­жить на 12, зна­ме­на­тель: 1 умно­жить на 2 умно­жить на 3 умно­жить на 4 конец дроби = 9 умно­жить на 5 умно­жить на 11 = 495.

Ответ: 495.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке 22 июня 1942 года, бло­кад­ный Ле­нин­град