Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 5134

В осевом сечении цилиндра — прямоугольник ABCD, у которого AC плюс CD=20; СD — высота цилиндра и CD принадлежит [1; 6]. При каком значении CD объем цилиндра будет наибольшим, при каком наименьшим?

Спрятать решение

Решение.

Пусть CD=x, 1 меньше или равно x меньше или равно 6, тогда AC=20 минус CD=20 минус x. По теореме Пифагора в треугольнике ADC находим

AD в квадрате =AC в квадрате минус CD в квадрате =(20 минус x) в квадрате минус x в квадрате =400 минус 40x.

Объем цилиндра V=2 Пи r в квадрате h, где h=x и r в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: AD, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = 100 минус 10x, откуда

V(x)= Пи (100x минус 10x в квадрате )=10 Пи (10x минус x в квадрате ).

Найдем наибольшее и наименьшее значение V(x) на [1;6]. Квадратный трехчлен  f(x)=10x минус x в квадрате возрастает на ( минус принадлежит fty;5], убывает на [5; плюс принадлежит fty), в точке x=5 принимает наибольшее на ( минус принадлежит fty; плюс принадлежит fty) значение. Поэтому на отрезке [1;6]:

V_наиб=V_\max=V(6)=10 Пи (50 минус 25)=250 Пи .

Сравним значения на концах отрезка: f(1)=9, f(6)=24. Поскольку f(1) меньше f(6) наименьшее значение объема достигается точке x=1:

V_наим=V(1)=10 Пи умножить на 24=240 Пи .

 

Ответ: V_наиб=250 Пи , V_наим=240 Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 5000

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Москва, 1986 год. Экспериментальный экзамен по задачнику А. Н. Чудовского и Л. А. Сомова, вариант 2
? Классификатор: Применение производной к решению задач