РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 5134

В осевом сечении цилиндра  — прямоугольник ABCD, у которого $AC плюс CD=20;$ СD  — высота цилиндра и $CD принадлежит левая квадратная скобка 1; 6 правая квадратная скобка .$ При каком значении CD объем цилиндра будет наибольшим, при каком наименьшим?

Спрятать решение

Решение.

Пусть $CD=x,$ $1 меньше или равно x меньше или равно 6,$ тогда $AC=20 минус CD=20 минус x.$ По теореме Пифагора в треугольнике ADC находим

$AD в квадрате =AC в квадрате минус CD в квадрате = левая круглая скобка 20 минус x правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате =400 минус 40x.$

Объем цилиндра $V=2 Пи r в квадрате h,$ где $h=x$ и $r в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: AD, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = 100 минус 10x,$ откуда

$V левая круглая скобка x правая круглая скобка = Пи левая круглая скобка 100x минус 10x в квадрате правая круглая скобка =10 Пи левая круглая скобка 10x минус x в квадрате правая круглая скобка .$

Найдем наибольшее и наименьшее значение V(x) на $левая квадратная скобка 1;6 правая квадратная скобка .$ Квадратный трехчлен $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =10x минус x в квадрате$ возрастает на $левая круглая скобка минус бесконечность ;5 правая квадратная скобка ,$ убывает на $левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ в точке $x=5$ принимает наибольшее на $левая круглая скобка минус бесконечность ; плюс бесконечность правая круглая скобка$ значение. Поэтому на отрезке $левая квадратная скобка 1;6 правая квадратная скобка :$

$V_наиб=V_\max=V левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =10 Пи левая круглая скобка 50 минус 25 правая круглая скобка =250 Пи .$

Сравним значения на концах отрезка: $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =9,$ $f левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =24.$ Поскольку $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка меньше f левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$ наименьшее значение объема достигается точке $x=1:$

$V_наим=V левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =10 Пи умножить на 24=240 Пи .$

Ответ: $V_наиб=250 Пи ,$ $V_наим=240 Пи .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 5000

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Москва, 1986 год. Экспериментальный экзамен по задачнику А. Н. Чудовского и Л. А. Сомова, вариант 2

? Классификатор: Применение производной к решению задач

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь