Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4916

В четырёхугольной пирамиде MABCD в основании квадрат ABCD. Высотой является [MB], известно, что |MC| плюс |MB|=8. Найдите длину [MB], при которой объём пирамиды будет наибольшим, зная, что |MB| принадлежит левая квадратная скобка 1; 3 правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Пусть |MB|=x, |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a. Теперь выразим объём пирамиды: V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на S_осн умножить на MB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби a в квадрате x. Рассмотрим прямоугольный треугольник MBC. По теореме Пифагора:

a в квадрате = левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате =64 минус 16x плюс x в квадрате минус x в квадрате =64 минус 16x.

Значит, V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 64x минус 16x в квадрате правая круглая скобка . Найдём производную и её нуль:

V'= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 64 минус 32x правая круглая скобка ;

V'=0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 64 минус 32x правая круглая скобка =0 равносильно 2 минус x=0 равносильно x=2.

Подставим каждое из возможных значений MB:

V левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 64 минус 16 правая круглая скобка =16;

V левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 64 умножить на 2 минус 16 умножить на 4 правая круглая скобка = целая часть: 21, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3  — \max;

V левая круглая скобка 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 64 умножить на 3 минус 16 умножить на 9 правая круглая скобка =16.

Ответ: 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4910

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1981 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Геометрия, Применение производной к решению задач
?
Сложность: 5 из 10