Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4909

Докажите, что функция y= логарифм по основанию 4 (2 минус 3x) убывает на всей области определения.

Спрятать решение

Решение.

Найдём производную: y'(x)= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: (2 минус 3x)\ln 4 конец дроби = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: \ln 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 минус 3x конец дроби . Если производная функции на данном промежутке отрицательна, то сама функция убывает на этом промежутке. Заметим, что \ln 4 больше 0, т. к. 4 больше 1, значит,  минус дробь: числитель: 3, знаменатель: \ln 4 конец дроби меньше 0. Необходимо:

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 минус 3x конец дроби больше 0 равносильно 2 минус 3x больше 0 равносильно 3x меньше 2 равносильно x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

Область определения функции совпадает с промежутком убывания функции. Отсюда следует убывание функции y= логарифм по основанию 4 (2 минус 3x) на всей области определения.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4915

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1981 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Область определения функции
?
Сложность: 4 из 10