Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4820
i

Най­ди­те наи­боль­шую пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы, у ко­то­рой диа­го­наль равна  ко­рень из 2 м.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть сто­ро­на квад­ра­та, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии приз­мы, равна х мет­ров, тогда диа­го­наль ос­но­ва­ния равна x ко­рень из 2 . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка A1AC най­дем вы­со­ту приз­мы:

AA_1 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: A_1C в квад­ра­те минус AC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус 2x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пря­мой приз­мы равна про­из­ве­де­нию пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

S_бок левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = P_ABC умно­жить на AA_1 = 4x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус 2x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 4 ко­рень из 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус x в сте­пе­ни 4 конец ар­гу­мен­та .

Опре­де­лим наи­боль­шее зна­че­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = x в квад­ра­те минус x в сте­пе­ни 4 при 0 мень­ше x мень­ше ко­рень из 2 . Най­дем про­из­вод­ную:

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 2x минус 4x в кубе = 2x левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = 2x левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­рень из 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка .

На ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка 0; ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка най­ден­ная про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точке x_0 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 2 , от­ри­ца­тель­на при x боль­ше x_0, по­ло­жи­тель­на при x мень­ше x_0. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на этом ин­тер­ва­ле сов­па­да­ет со зна­че­ни­ем в точке мак­си­му­ма и равно f левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Тогда для ис­ко­мой наи­боль­шей пло­ща­ди по­верх­но­сти по­лу­ча­ем:

S_бок = 4 ко­рень из 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = 2 ко­рень из 2 м в квад­ра­те .

Ответ: 2 ко­рень из 2 м в квад­ра­те .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4814

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1978 год, ра­бо­та 1 (осн.), ва­ри­ант 2
? Классификатор: Гео­мет­рия, При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 5 из 10