№ 4808 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 19. Приложение производной к задачам оптимизации
i
Пусть x — длина стороны основания прямоугольной пирамиды MABCD. Сумма длин стороны основания и апофемы пирамиды равна в дм. Выразив площадь 
боковой поверхности пирамиды как функцию от x, найдите угол между плоскостями MOC и BDC в пирамиде, имеющей 
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Пусть x — длина стороны основания правильной пирамиды MABC. Сумма длин стороны основания и высоты пирамиды равна 3 дм. Выразив объем 
пирамиды как функцию от x, найдите расстояние от основания высоты пирамиды до плоскости боковой грани в пирамиде, имеющей 
Если сторона основания пирамиды равна x, а высота равна 
то объем равен
Исследуем эту функцию при 
Возьмем ее производную
что положительно при 
и отрицательно при 
Следовательно, функция 
возрастает при и убывает при 
поэтому ее наибольшее значение достигается при 
Пусть у пирамиды SABC точка O — центр основания, M — середина AC, 
Тогда
Заметим, что 
(поскольку 
и 
). Опустим тогда высоту из O на прямую SM — она будет перпендикулярна SM и (поскольку лежит в плоскости SOM) перпендикулярна AC, следовательно, будет перпендикулярна плоскости SAC. Вычислим:
Ответ: 
Критерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 60°.
Задание парного варианта: 4802
