Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4778
i

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды MABCD  — пря­мо­уголь­ник, пе­ри­метр ко­то­ро­го равен 12 м. Ребро MB пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABC, угол между плос­ко­стя­ми α и β равен 45°, где  альфа = левая круг­лая скоб­ка MAD пра­вая круг­лая скоб­ка и  бета = левая круг­лая скоб­ка BAD пра­вая круг­лая скоб­ка . Ка­ко­ва долж­на быть вы­со­та пи­ра­ми­ды, чтобы объем был мак­си­маль­ным?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пря­мая AB яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей на­клон­ной AM на плос­ко­сти ABCD. Пря­мая AD пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, а по­то­му, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AM. Сле­до­ва­тель­но, MAB  — ли­ней­ный угол двух­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми MAD и ABD. Обо­зна­чим x (м) длину MB.

По усло­вию, угол между MAB равен 45°, по­это­му пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABM рав­но­бед­рен­ный, а зна­чит, AB=BM=x. Пе­ри­метр ос­но­ва­ния равен 12, сле­до­ва­тель­но, 2AB плюс 2AD=12, от­ку­да AD=6 минус AB=6 минус x. Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABCD равна x левая круг­лая скоб­ка 6 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , а объем пи­ра­ми­ды

V левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на S_осн умно­жить на h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x левая круг­лая скоб­ка 6 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 6x в квад­ра­те минус x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем, при каком x из ин­тер­ва­ла (0; 6) функ­ция V(x) при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние:

V' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 12x минус 3x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =x левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Изоб­ра­зим по­ве­де­ние V' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и V(x) на ри­сун­ке. Из ри­сун­ка видно, что наи­боль­шее на (0; 6) зна­че­ние V(x) до­сти­га­ет­ся в точке 4.

 

Ответ: 4 м.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4784

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1977 год, ра­бо­та 2 (доп.), ва­ри­ант 1
? Классификатор: Гео­мет­рия, При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 5 из 10