Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4784
i

В пи­ра­ми­де MABC: угол BAC равен 90 гра­ду­сов , ребро MB пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABC, |AB| плюс |MB|=9 дм, |AC|=2|MB|. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до ребра AC в пи­ра­ми­де, име­ю­щей мак­си­маль­ной объем.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть MB=x, тогда AC=2x, AB=9 минус x и

V_MABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби MB умно­жить на S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2x левая круг­лая скоб­ка 9 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 9 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 9x в квад­ра­те минус x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем наи­боль­шее зна­че­ние этой функ­ции при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 9 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Возь­мем ее про­из­вод­ную:

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 9x в квад­ра­те минус x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 18x минус 3x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =6x минус x в квад­ра­те =x левая круг­лая скоб­ка 6 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что по­ло­жи­тель­но при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 6 пра­вая круг­лая скоб­ка и от­ри­ца­тель­но при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 6; 9 пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но, функ­ция V левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 9x в квад­ра­те минус x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка воз­рас­та­ет при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 6 пра­вая круг­лая скоб­ка и убы­ва­ет при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 6; 9 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му ее наи­боль­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при x=6. За­ме­тим, что MA\perp AC по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, по­сколь­ку про­ек­ци­ей MA на плос­кость ABC слу­жит от­ре­зок AB, пер­пен­ди­ку­ляр­ный AC. Зна­чит,

d левая круг­лая скоб­ка M, AC пра­вая круг­лая скоб­ка =MA= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: MB в квад­ра­те плюс BA в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 9 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 в квад­ра­те плюс 3 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 45 конец ар­гу­мен­та .

Ответ:  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 45 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4778

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1977 год, ра­бо­та 2 (доп.), ва­ри­ант 1
? Классификатор: Гео­мет­рия
?
Сложность: 5 из 10