Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4784

В пирамиде MABC: угол BAC равен 90 градусов , ребро MB перпендикулярно плоскости ABC, |AB| плюс |MB|=9 дм, |AC|=2|MB|. Найдите расстояние от точки M до ребра AC в пирамиде, имеющей максимальной объем.

Спрятать решение

Решение.

Пусть MB=x, тогда AC=2x, AB=9 минус x и

V_MABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби MB умножить на S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x умножить на дробь: числитель: 2x(9 минус x), знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате (9 минус x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (9x в квадрате минус x в кубе ).

Найдем наибольшее значение этой функции при x принадлежит [0; 9]. Возьмем ее производную:

 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (9x в квадрате минус x в кубе ) правая круглая скобка '= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (18x минус 3x в квадрате )=6x минус x в квадрате =x(6 минус x),

что положительно при x принадлежит (0; 6) и отрицательно при x принадлежит (6; 9). Следовательно, функция V(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (9x в квадрате минус x в кубе ) возрастает при x принадлежит (0; 6) и убывает при x принадлежит (6; 9), поэтому ее наибольшее значение достигается при x=6. Заметим, что MA\perp AC по теореме о трех перпендикулярах, поскольку проекцией MA на плоскость ABC служит отрезок AB, перпендикулярный AC. Значит,

d(M, AC)=MA= корень из (MB в квадрате плюс BA в квадрате ) = корень из (x в квадрате плюс (9 минус x) в квадрате ) = корень из (6 в квадрате плюс 3 в квадрате ) = корень из (45) .

Ответ:  корень из (45) .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4778

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1977 год, работа 2 (доп.), вариант 1
? Классификатор: Геометрия
?
Сложность: 5 из 10