PDF-версии: 
В основании пирамиды MABCD — прямоугольник, периметр которого равен 12 м. Ребро MB перпендикулярно плоскости ABC, угол между плоскостями α и β равен 45°, где 
и 
Какова должна быть высота пирамиды, чтобы объем был максимальным?
Решение. Прямая AB является проекцией наклонной AM на плоскости ABCD. Прямая AD перпендикулярна AB, а потому, по теореме о трех перпендикулярах, перпендикулярна прямой AM. Следовательно, MAB — линейный угол двухгранного угла между плоскостями MAD и ABD. Обозначим
По условию, угол между MAB равен 45°, поэтому прямоугольный треугольник ABM равнобедренный, а значит, 
Периметр основания равен 12, следовательно, 
откуда 
Тогда площадь прямоугольника ABCD равна 
а объем пирамиды
Найдем, при каком x из интервала
Изобразим поведение 
и V(x) на рисунке. Из рисунка видно, что наибольшее на
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |