Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4761
i

Два то­чеч­ных за­ря­да 81 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка Кл и 16 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка Кл на­хо­дят­ся в ва­ку­у­ме на рас­сто­я­нии  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби м друг друга. В какой точке от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го за­ря­ды, по­тен­ци­ал элек­три­че­ско­го поля, со­зда­ва­е­мо­го этими за­ря­да­ми, наи­мень­ший, если за­ря­ды од­но­имен­ные? По­тен­ци­ал элек­три­че­ско­го поля, со­зда­ва­е­мо­го то­чеч­ным за­ря­дом, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле \varphi= дробь: чис­ли­тель: kq, зна­ме­на­тель: r конец дроби , где k=9 умно­жить на 10 в сте­пе­ни 9 дробь: чис­ли­тель: H умно­жить на м в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: Кл в квад­ра­те конец дроби , q  — ве­ли­чи­на за­ря­да, со­зда­ю­ще­го поле, r  — рас­сто­я­ние от то­чеч­но­го за­ря­да до дан­ной точке.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть рас­сто­я­ние от точки до мень­ше­го по ве­ли­чи­не за­ря­да равно x, тогда рас­сто­я­ние до боль­ше­го за­ря­да равно 0,25 минус x. Зна­чит, на­пря­жен­ность поля со­став­ля­ет

 дробь: чис­ли­тель: 9 умно­жить на 10 в сте­пе­ни 9 умно­жить на 16 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9 умно­жить на 10 в сте­пе­ни 9 умно­жить на 81 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 0,25 минус x конец дроби .

Мы вы­бра­ли знак плюс между по­тен­ци­а­ла­ми, по­сколь­ку за­ря­ды од­но­имен­ные. Пре­об­ра­зу­ем дан­ное вы­ра­же­ние и най­дем его ми­ни­маль­ное зна­че­ние при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 0,25 пра­вая круг­лая скоб­ка :

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9 умно­жить на 10 в сте­пе­ни 9 умно­жить на 16 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9 умно­жить на 10 в сте­пе­ни 9 умно­жить на 81 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 0,25 минус x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '=
= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 144000, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 729000, зна­ме­на­тель: 0,25 минус x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ' 9000 левая круг­лая скоб­ка 16x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 81 левая круг­лая скоб­ка 0,25 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '= 9000 левая круг­лая скоб­ка минус 16x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 81 левая круг­лая скоб­ка 0,25 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем ко­рень про­из­вод­ной, решая урав­не­ние при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 0,25 пра­вая круг­лая скоб­ка :

9000 левая круг­лая скоб­ка минус 16x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 81 левая круг­лая скоб­ка 0,25 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но минус 16x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 81 левая круг­лая скоб­ка 0,25 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 81 левая круг­лая скоб­ка 0,25 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =16x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 81x в квад­ра­те =16 левая круг­лая скоб­ка 0,25 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 9x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 1 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но 9x=1 минус 4x рав­но­силь­но 13x=1 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

Слу­чай 9x=4x минус 1 при­во­дит к от­ри­ца­тель­но­му зна­че­нию x и по­то­му не­воз­мо­жен. Ясно, что это имен­но точка ми­ни­му­ма, по­сколь­ку

\lim\limits_xarrow 0 9000 левая круг­лая скоб­ка 16x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 81 левая круг­лая скоб­ка 0,25 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =\lim\limits_xarrow 0,25 9000 левая круг­лая скоб­ка 16x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 81 левая круг­лая скоб­ка 0,25 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = плюс бес­ко­неч­ность .

Итак, эта точка на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби метра от мень­ше­го за­ря­да и  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 52 конец дроби метра от боль­ше­го.

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4755

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1989 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния (кроме три­го­но­мет­рии)
?
Сложность: 10 из 10