РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4679

Для каждого $a больше минус 2$ найдите наименьшее значение функции $y=27x минус x в кубе$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 2; a правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Поскольку

$y'= левая круглая скобка 27x минус x в кубе правая круглая скобка '=27 минус 3x в квадрате =3 левая круглая скобка 9 минус x в квадрате правая круглая скобка =3 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс x правая круглая скобка ,$

что отрицательно при $x больше 3$ и положительно при $x принадлежит левая квадратная скобка минус 2; 3 правая круглая скобка ,$ функция возрастает при $x принадлежит левая квадратная скобка минус 2; 3 правая квадратная скобка$ и убывает при $x принадлежит левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Кроме того

$y левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =27 левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в кубе = минус 54 плюс 8= минус 46.$

Решим уравнение $y левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 46:$

$27x минус x в кубе = минус 46 равносильно x в кубе минус 27x минус 46=0.$

Поскольку $x= минус 2$ является его корнем, многочлен в левой части можно разложить на множители, одним из которых будет $x плюс 2.$ Тогда $левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 23 правая круглая скобка =0,$ откуда $x= минус 2$ и $x=1\pm корень из: начало аргумента: 24 конец аргумента .$ Отметим, что $1 минус корень из: начало аргумента: 24 конец аргумента меньше минус 2.$

Значит при $a меньше 1 плюс корень из: начало аргумента: 24 конец аргумента$ наименьшее значение функция принимает при $x= минус 2$ и оно равно −46, а при $a больше или равно 1 плюс корень из: начало аргумента: 24 конец аргумента$ наименьшее значение функция принимает при $x=a$ и оно равно $27a минус a в кубе .$

Ответ: при $a меньше 1 плюс корень из: начало аргумента: 24 конец аргумента$ наименьшее значение −46, при $a больше или равно 1 плюс корень из: начало аргумента: 24 конец аргумента$ наименьшее значение равно $27a минус a в кубе .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4673

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1990 год, работа 6, вариант 2

? Классификатор: Задачи на наибольшее и наименьшее значение функции

Сложность: 10 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь