Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4673

Для каждого a больше минус 1 найдите наибольшее значение функции y=x в кубе минус 12x на отрезке [ минус 1; a].

Спрятать решение

Решение.

Поскольку

y'=(x в кубе минус 12x)'3x в квадрате минус 12=3(x в квадрате минус 4)=3(x минус 2)(x плюс 2),

что отрицательно при x принадлежит [ минус 1; 2) и положительно при x принадлежит (2; плюс принадлежит fty), функция возрастает при x принадлежит [2; плюс принадлежит fty] и убывает при x принадлежит [ минус 1; 2]. Кроме того y( минус 1)= минус 1 плюс 12=11. Решим уравнение y(x)=11:

x в кубе минус 12x=11 равносильно x в кубе минус 12x минус 11=0.

Поскольку x= минус 1 является его корнем, многочлен в левой части можно разложить на множители, одним из которых будет x плюс 1. Тогда (x плюс 1)(x в квадрате минус x минус 11)=0, откуда x=2 и x= дробь: числитель: 1\pm корень из (45) , знаменатель: 2 конец дроби . Отметим, что  дробь: числитель: 1 минус корень из (45) , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус 1.

Значит при a меньше дробь: числитель: 1 плюс корень из (45) , знаменатель: 2 конец дроби наибольшее значение функция принимает при x= минус 1 и оно равно 11, а при a больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из (45) , знаменатель: 2 конец дроби наибольшее значение функция принимает при x=a и оно равно a в кубе минус 12a.

 

Ответ: при a меньше дробь: числитель: 1 плюс корень из (45) , знаменатель: 2 конец дроби наибольшее значение равно 11, при a больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из (45) , знаменатель: 2 конец дроби наибольшее значение равно a в кубе минус 12a.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4679

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1990 год, работа 6, вариант 1
? Классификатор: Задачи на наибольшее и наименьшее значение функции, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 10 из 10