Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4665
i

Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний  си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: xy конец ар­гу­мен­та плюс 2=0,y в квад­ра­те плюс y ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: xy конец ар­гу­мен­та минус 54=0. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сразу от­ме­тим, что x не равно 0 и y не равно 0 (иначе пер­вое урав­не­ние вы­пол­нятьс не может). Далее, x и y од­но­го знака, по­сколь­ку  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: xy конец ар­гу­мен­та опре­де­лен, и они не могут быть по­ло­жи­тель­ны (иначе пер­вое урав­не­ние не может вы­пол­нять­ся). До­мно­жим верх­нее урав­не­ние на 27 и сло­жим урав­не­ния

27x в квад­ра­те плюс 27x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: xy конец ар­гу­мен­та плюс y в квад­ра­те плюс y ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: xy конец ар­гу­мен­та =0.

Те­перь раз­де­лим урав­не­ние на x в квад­ра­те

27 плюс 27 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: xy конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: y в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: x конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: xy конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: x конец дроби =0.

Обо­зна­чим  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: xy конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: x конец дроби =t, от­ме­тив сразу что t мень­ше 0. Тогда t в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: xy, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: x конец дроби . По­лу­ча­ем

27 плюс 27t плюс t в сте­пе­ни 4 плюс t в кубе =0 рав­но­силь­но 27 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка плюс t в кубе левая круг­лая скоб­ка 1 плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t в кубе плюс 27 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но  левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 3t плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Зна­чит, t= минус 1 или t= минус 3, у урав­не­ния t в квад­ра­те минус 3t плюс 9=0 нет кор­ней.

В пер­вом слу­чае имеем  дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: x конец дроби =t в квад­ра­те =1, то есть y=x. Тогда урав­не­ния при­мут вид x в квад­ра­те плюс x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та плюс 2=0 и x в квад­ра­те плюс x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус 54=0, что не может вы­пол­нять­ся од­но­вре­мен­но.

Во вто­ром слу­чае по­лу­ча­ем  дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: x конец дроби =t в квад­ра­те =9, то есть y=9x. Тогда урав­не­ния при­мут вид

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та плюс 2=0,81x в квад­ра­те плюс 9x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус 54=0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но  со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс x левая круг­лая скоб­ка минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2=0,81x в квад­ра­те плюс 9x левая круг­лая скоб­ка минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 54=0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус 3x в квад­ра­те плюс 2=0,81x в квад­ра­те минус 27x в квад­ра­те минус 54=0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но  со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2 минус 2x в квад­ра­те =0,54x в квад­ра­те минус 54=0. конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что x=\pm 1 удо­вле­тво­ря­ет обоим урав­не­ни­ям. Учи­ты­вая усло­вие x мень­ше 0 окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем x= минус 1 и y= минус 9.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 1; минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4659

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1990 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы
?
Сложность: 8 из 10