№ 4665 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 11. Иррациональности
i
Решите систему уравнений 
Спрятать решениеРешение. Сразу отметим, что
и
(иначе первое уравнение выполнятьс не может). Далее, x и y одного знака, поскольку
определен, и они не могут быть положительны (иначе первое уравнение не может выполняться). Домножим верхнее уравнение на 27 и сложим уравнения

Теперь разделим уравнение на 

Обозначим
отметив сразу что
Тогда
Получаем


Значит,
или
у уравнения
нет корней.
В первом случае имеем
то есть
Тогда уравнения примут вид
и
что не может выполняться одновременно.
Во втором случае получаем
то есть
Тогда уравнения примут вид


Заметим, что
удовлетворяет обоим уравнениям. Учитывая условие
окончательно получаем
и 
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 
Задание парного варианта: 4659