Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4661
i

Из трех ре­зи­сто­ров со­став­ле­на цепь (см. рис.). Най­ди­те со­про­тив­ле­ния ре­зи­сто­ров, при ко­то­рых со­про­тив­ле­ние цепи будет наи­боль­шим, если из­вест­но, что  дробь: чис­ли­тель: R_2, зна­ме­на­тель: R_3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби и при по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии этих ре­зи­сто­ров со­про­тив­ле­ние цепи ровно R.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть R_2=3x и R_3=5x. По пра­ви­лам рас­че­та со­про­тив­ле­ний для по­сле­до­ва­тель­но­го со­еди­не­ния R=R_1 плюс R_2 плюс R_3, от­ку­да R_1=R минус 8x. Тогда для ука­зан­ной схемы общее со­про­тив­ле­ние равно

R_общ левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 5x плюс дробь: чис­ли­тель: 3x левая круг­лая скоб­ка R минус 8x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3x плюс R минус 8x конец дроби =5x плюс дробь: чис­ли­тель: 3xR минус 24x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: R минус 5x конец дроби .

Нам нужно найти мак­си­маль­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния. Возь­мем про­из­вод­ную:

R'_общ левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 5 плюс дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 3R минус 48x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка R минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3xR минус 24x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка R минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка R минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3R минус 48x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка R минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5 левая круг­лая скоб­ка 3xR минус 24x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка R минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка R в квад­ра­те минус 10Rx плюс 25x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3R в квад­ра­те минус 48xR минус 15xR плюс 240x в квад­ра­те плюс 15xR минус 120x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка R минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 8R в квад­ра­те минус 218xR плюс 245x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка R минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2R минус 7x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4R минус 35x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка R минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби .

Про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4R, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и по­ло­жи­тель­на при x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4R, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби . Зна­че­ния x боль­ше дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби нас не ин­те­ре­су­ют, по­сколь­ку R_1=R минус 8x боль­ше 0. По­это­му функ­ция убы­ва­ет при x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4R, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби и воз­рас­та­ет при x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4R, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби . Зна­чит, x= дробь: чис­ли­тель: 4R, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби   — точка мак­си­му­ма. Итак,

R_1= дробь: чис­ли­тель: 3R, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби ,

R_2= дробь: чис­ли­тель: 12R, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби ,

R_3= дробь: чис­ли­тель: 20R, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби .

Ответ: R_1= дробь: чис­ли­тель: 3R, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби , R_2= дробь: чис­ли­тель: 12R, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби , R_3= дробь: чис­ли­тель: 20R, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4667

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1990 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 1
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 10 из 10