Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4561
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y=3 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та , y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та и 4x минус 5y минус 21=0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем сна­ча­ла точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков:

3 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та =3 рав­но­силь­но x=1,

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 4x минус 21, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби рав­но­силь­но 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та =4x минус 21.

Сде­ла­ем за­ме­ну  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та =t, тогда по­лу­чим 4t в квад­ра­те минус 5t минус 21=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4t плюс 7 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, то есть t=3 (x=9), или же t= минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , что не­воз­мож­но.

3 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 4x минус 21, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби рав­но­силь­но 15 минус 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та =4x минус 21 рав­но­силь­но 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та =36 минус 4x рав­но­силь­но 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та =18 минус 2x рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 25x=324 минус 72x плюс 4x в квад­ра­те рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те минус 97x плюс 324=0.

У из­на­чаль­но­го урав­не­ния есть ко­рень x=4, по­это­му можно вы­де­лить мно­жи­тель x минус 4. По­лу­ча­ем  левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4x минус 81 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, от­ку­да x=4 или x= дробь: чис­ли­тель: 81, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \approx 20 (по­сто­рон­ний ко­рень, 18 минус 2x мень­ше 0)

Из ри­сун­ка видно, что об­ласть огра­ни­че­на свер­ху ли­ни­ей y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та , а снизу сна­ча­ла ли­ни­ей y=3 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та , а потом ли­ни­ей  дробь: чис­ли­тель: 4x минус 21, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Зна­чит, ее пло­щадь равна

 при­над­ле­жит t\limits_1 в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та минус левая круг­лая скоб­ка 3 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t\limits_4 в сте­пе­ни 9 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 4x минус 21, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t\limits_1 в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t\limits_4 в сте­пе­ни 9 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 4x, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3/2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3/2 конец дроби минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка |_1 в сте­пе­ни 4 плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3/2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3/2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x пра­вая круг­лая скоб­ка |_4 в сте­пе­ни 9 =
= левая круг­лая скоб­ка 3 умно­жить на 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3/2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 3 умно­жить на 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 3 умно­жить на 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3/2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 3 умно­жить на 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3/2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3/2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на 81 плюс дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на 9 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3/2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3/2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на 16 плюс дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= 16 минус 12 минус 2 плюс 3 плюс 18 минус дробь: чис­ли­тель: 162, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 189, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 32, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 84, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = 23 минус дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =23 минус 5 минус целая часть: 5, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 = целая часть: 12, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 .

 

Ответ:  целая часть: 12, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4555

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2003 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 7 из 10