Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4525

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x)=x в кубе минус x в квадрате минус 4x плюс 7 и g(x)=x в квадрате плюс 7x минус 5.

Спрятать решение

Решение.

Для нахождения площади воспользуемся формулой

S = принадлежит t \limits_a в степени (b) ( f(x) минус g(x) ) dx .

Найдем пределы интегрирования:

x в кубе минус x в квадрате минус 4x плюс 7 = x в квадрате плюс 7x минус 5 равносильно x в кубе минус 2x в квадрате минус 11x плюс 12 = 0.

Подберем один из корней уравнения. Сумма его коэффициентов равна нулю (1 минус 2 минус 11 плюс 12 = 0), поэтому одним из корней является x = 1. Чтобы найти другие корни, воспользуемся схемой Горнера:

 

1-2-1112
11-1-120
4130
-310

 

Полученные корни: x = 1, x = 4, x = минус 3.

Определим, какая из функций лежит выше. Для этого решим неравенство x в кубе минус x в квадрате минус 4x плюс 7 больше или равно x в квадрате плюс 7x минус 5. Разложим его на множители

(x минус 1)(x минус 4)(x плюс 3) больше или равно 0.

и применим метод интервалов (см. рис.). Получаем два числовых промежутка: [ минус 3; 1], [1; 4].

 

На промежутке [ минус 3; 1] график функции f(x) лежит выше графика функции g(x). На промежутке [1; 4] график функции f(x) лежит ниже графика функции g(x). Следовательно, имеем:

 принадлежит t \limits_ минус 3 в степени (1) левая круглая скобка x в кубе минус 2x в квадрате минус 11x плюс 12 правая круглая скобка dx плюс принадлежит t \limits_1 в степени (4) левая круглая скобка минус x в кубе плюс 2x в квадрате плюс 11x минус 12 правая круглая скобка dx =
= \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 2x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус 5,5x в квадрате плюс 12x правая круглая скобка | \limits_ минус 3 в степени (1) плюс \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби левая круглая скобка минус дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби плюс 5,5x в квадрате минус 12x правая круглая скобка | \limits_1 в степени (4) =
= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 11}2 плюс 12 минус дробь: числитель: 81, знаменатель: 4 конец дроби минус 18 плюс дробь: числитель: 99, знаменатель: 2 конец дроби плюс 36 минус 64 плюс дробь: числитель: 128, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: {, знаменатель: 1 конец дроби 76, знаменатель: 2 конец дроби минус 48 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби плюс 12 =
= минус 20 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 42 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 44 плюс 82 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус 70 = целая часть: 78, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 12 .

Ответ:  целая часть: 78, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 12 кв. ед.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4519

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2000 год, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 7 из 10