Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4525
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ка­ми функ­ций f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе минус x в квад­ра­те минус 4x плюс 7 и g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те плюс 7x минус 5.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Для на­хож­де­ния пло­ща­ди вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой

S = ин­те­грал пре­де­лы: от a до b, левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx .

Най­дем пре­де­лы ин­те­гри­ро­ва­ния:

x в кубе минус x в квад­ра­те минус 4x плюс 7 = x в квад­ра­те плюс 7x минус 5 рав­но­силь­но x в кубе минус 2x в квад­ра­те минус 11x плюс 12 = 0.

Под­бе­рем один из кор­ней урав­не­ния. Сумма его ко­эф­фи­ци­ен­тов равна нулю  левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 минус 11 плюс 12 = 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му одним из кор­ней яв­ля­ет­ся x = 1. Чтобы найти дру­гие корни, вос­поль­зу­ем­ся схе­мой Гор­не­ра:

 

1-2-1112
11-1-120
4130
-310

 

По­лу­чен­ные корни: x = 1, x = 4, x = минус 3.

Опре­де­лим, какая из функ­ций лежит выше. Для этого решим не­ра­вен­ство x в кубе минус x в квад­ра­те минус 4x плюс 7 боль­ше или равно x в квад­ра­те плюс 7x минус 5. Раз­ло­жим его на мно­жи­те­ли

 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

и при­ме­ним метод ин­тер­ва­лов (см. рис.). По­лу­ча­ем два чис­ло­вых про­ме­жут­ка:  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ,  левая квад­рат­ная скоб­ка 1; 4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

На про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка гра­фик функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка лежит выше гра­фи­ка функ­ции g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка . На про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 1; 4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка гра­фик функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка лежит ниже гра­фи­ка функ­ции g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но, имеем:

 ин­те­грал пре­де­лы: от минус 3 до 1, левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 2x в квад­ра­те минус 11x плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс ин­те­грал пре­де­лы: от 1 до 4, левая круг­лая скоб­ка минус x в кубе плюс 2x в квад­ра­те плюс 11x минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка dx =
= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 5,5x в квад­ра­те плюс 12x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от минус 3 до 1, плюс левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 5,5x в квад­ра­те минус 12x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 1 до 4, =
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 11}2 плюс 12 минус дробь: чис­ли­тель: 81, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 18 плюс дробь: чис­ли­тель: 99, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 36 минус 64 плюс дробь: чис­ли­тель: 128, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби 76, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 48 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 12 =
= минус 20 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 42 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 44 плюс 82 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 70 = целая часть: 78, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 .

Ответ:  целая часть: 78, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 кв. ед.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4519

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 7 из 10