Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4519
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ка­ми функ­ций f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе плюс 2x в квад­ра­те минус 2x плюс 11 и g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те плюс 8x плюс 3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков функ­ций. Для этого решим урав­не­ние x в кубе плюс 2x в квад­ра­те минус 2x плюс 11=x в квад­ра­те плюс 8x плюс 3:

x в кубе плюс 2x в квад­ра­те минус 2x плюс 11=x в квад­ра­те плюс 8x плюс 3 рав­но­силь­но x в кубе плюс x в квад­ра­те минус 10x плюс 8=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = 1,x = 2,x = минус 4. конец со­во­куп­но­сти .

Гра­фи­ки функ­ций пе­ре­се­ка­ют­ся в трех точ­ках и по­то­му огра­ни­чи­ва­ют две об­ла­сти. Най­дем их пло­ща­ди. Чтобы не стро­ить эти гра­фи­ки и не вы­яс­нять, какой их них рас­по­ло­жен выше (это не упро­стит за­да­чу), ис­поль­зу­ем для каж­дой из об­ла­стей фор­му­лу

S = ин­те­грал пре­де­лы: от a до b, \left| f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка | dx .

Най­дем одну из пер­во­об­раз­ных:

 при­над­ле­жит t пре­де­лы: от a до b, левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс 2x в квад­ра­те минус 2x плюс 11 минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 8x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx = при­над­ле­жит t пре­де­лы: от a до b, левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс x в квад­ра­те минус 10x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в сте­пе­ни 4 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в кубе минус 5x в квад­ра­те плюс 8x пра­вая круг­лая скоб­ка |_a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка .

Далее имеем:

S_1 = \abs при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус 4 до 1, левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс x в квад­ра­те минус 10x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка dx= \abs дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 5 плюс 8 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 256 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 64 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5 умно­жить на 16 минус 8 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= \abs дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс 3 минус 64 плюс дробь: чис­ли­тель: 64, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 80 плюс 32= \abs целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 12 плюс целая часть: 21, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 плюс 48= целая часть: 72, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 12 ,

S_2 = \abs при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 1 до 2, левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс x в квад­ра­те минус 10x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка dx = \abs дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 16 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 8 минус 5 умно­жить на 4 плюс 8 умно­жить на 2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 5 минус 8=
= \abs4 плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 20 плюс 16 минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус 3= \abs дробь: чис­ли­тель: 83 минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус 3}=\abs дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус 3= дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

От­ве­том будет сумма пло­ща­дей:  целая часть: 72, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 12 плюс дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = целая часть: 73, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 .

 

Ответ:  целая часть: 73, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4525

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 7 из 10