Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4524

Сумма емкостей трех конденсаторов равна 19 Ф. Емкость второго конденсатора в 2,25 раза меньше емкости третьего конденсатора. Определите, при каком значении емкости первого конденсатора емкость батареи, составленной последовательным соединением этих конденсаторов, наибольшая. (Емкость C батареи последовательно соединенных конденсаторов с емкостями C_1, C_2 и C_3 определяется из формулы  дробь: числитель: 1, знаменатель: C конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: C_1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: C_2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: C_3 конец дроби ).

Спрятать решение

Решение.

Пусть емкость второго конденсатора равна 4x Ф, тогда третьего — 9x, а первого — 19 минус 13x Ф. Следовательно, x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 19, знаменатель: 13 конец дроби правая круглая скобка . На этом промежутке нужно найти наименьшее значение функции  дробь: числитель: 1, знаменатель: 19 минус 13x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 9x конец дроби , поскольку именно оно даст наибольшее значение C. Упростим полученную функцию:

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 19 минус 13x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 9x конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 36x конец дроби плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 36x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 19 минус 13x конец дроби = дробь: числитель: 13, знаменатель: 36x конец дроби дробь: числитель: 1, знаменатель: 19 минус 13x конец дроби =
= дробь: числитель: 13(19 минус 13x) плюс 36x, знаменатель: 36x(19 минус 13x) конец дроби = дробь: числитель: 247 минус 133x, знаменатель: 36x(19 минус 13x) конец дроби = дробь: числитель: 19(13 минус 7x), знаменатель: 36x(19 минус 13x) конец дроби = дробь: числитель: 19, знаменатель: 36 конец дроби умножить на дробь: числитель: 13 минус 7x, знаменатель: 19x минус 13x в квадрате конец дроби .

Первый множитель не влияет на положение точки минимума. Возьмем производную:

( дробь: числитель: 13 минус 7x, знаменатель: 19x минус 13x в квадрате конец дроби )'= дробь: числитель: (13 минус 7x)'(19x минус 13x в квадрате ) минус (19x минус 13x в квадрате )'(13 минус 7x), знаменатель: (19x минус 13x в квадрате ) в квадрате конец дроби =
= дробь: числитель: ( минус 7)(19x минус 13x в квадрате ) минус (19 минус 26x)(13 минус 7x), знаменатель: (19x минус 13x в квадрате ) в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус 133x плюс 91x в квадрате минус (247 минус 338x минус 133x плюс 182x в квадрате ), знаменатель: (19x минус 13x в квадрате ) в квадрате конец дроби =
= дробь: числитель: минус 133x плюс 91x в квадрате минус 247 плюс 338x плюс 133x минус 182x в квадрате , знаменатель: (19x минус 13x в квадрате ) в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус 91x в квадрате минус 247 плюс 338x, знаменатель: (19x минус 13x в квадрате ) в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус 13(7x в квадрате минус 26x плюс 19), знаменатель: (19x минус 13x в квадрате ) в квадрате конец дроби .

Решая квадратное уравнение 7x в квадрате минус 26x плюс 19=0, находим

x= дробь: числитель: 13\pm корень из (169 минус 19 умножить на 7) , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 13\pm корень из (36) , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 13\pm 6, знаменатель: 7 конец дроби .

Значит, x=1 или x= дробь: числитель: 19, знаменатель: 7 конец дроби . Тогда производную можно записать в виде

 дробь: числитель: минус 13(x минус 1)(7x минус 19), знаменатель: (19x минус 13x в квадрате ) в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 13(x минус 1)(19 минус 7x), знаменатель: (19x минус 13x в квадрате ) в квадрате конец дроби .

Поскольку при x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 19, знаменатель: 13 конец дроби правая круглая скобка знаменатель положителен и 19 минус 7x больше 0, знак производной определяется знаком x минус 1, поэтому она отрицательна при x меньше 1 и положительна при x больше 1, поэтому функция убывает при x меньше 1 и возрастает при x больше 1. Значит, наименьшее значение она принимает при x=1. Тогда 19 минус 13x=6.

 

Ответ: 6 Ф.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4518

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2000 год, вариант 2
? Классификатор: Применение производной к решению задач
?
Сложность: 6 из 10