Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4524
i

Сумма ем­ко­стей трех кон­ден­са­то­ров равна 19 Ф. Ем­кость вто­ро­го кон­ден­са­то­ра в 2,25 раза мень­ше ем­ко­сти тре­тье­го кон­ден­са­то­ра. Опре­де­ли­те, при каком зна­че­нии ем­ко­сти пер­во­го кон­ден­са­то­ра ем­кость ба­та­реи, со­став­лен­ной по­сле­до­ва­тель­ным со­еди­не­ни­ем этих кон­ден­са­то­ров, наи­боль­шая. (Ем­кость C ба­та­реи по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нен­ных кон­ден­са­то­ров с ем­ко­стя­ми C_1, C_2 и C_3 опре­де­ля­ет­ся из фор­му­лы  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: C_1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: C_2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: C_3 конец дроби ).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть ем­кость вто­ро­го кон­ден­са­то­ра равна 4x Ф, тогда тре­тье­го  — 9x, а пер­во­го  — 19 минус 13x Ф. Сле­до­ва­тель­но, x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . На этом про­ме­жут­ке нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 19 минус 13x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9x конец дроби , по­сколь­ку имен­но оно даст наи­боль­шее зна­че­ние C. Упро­стим по­лу­чен­ную функ­цию:

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 19 минус 13x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 36x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 36x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 19 минус 13x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 36x конец дроби дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 19 минус 13x конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 13 левая круг­лая скоб­ка 19 минус 13x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 36x, зна­ме­на­тель: 36x левая круг­лая скоб­ка 19 минус 13x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 247 минус 133x, зна­ме­на­тель: 36x левая круг­лая скоб­ка 19 минус 13x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 19 левая круг­лая скоб­ка 13 минус 7x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 36x левая круг­лая скоб­ка 19 минус 13x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 13 минус 7x, зна­ме­на­тель: 19x минус 13x в квад­ра­те конец дроби .

Пер­вый мно­жи­тель не вли­я­ет на по­ло­же­ние точки ми­ни­му­ма. Возь­мем про­из­вод­ную:

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 13 минус 7x, зна­ме­на­тель: 19x минус 13x в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 13 минус 7x пра­вая круг­лая скоб­ка ' левая круг­лая скоб­ка 19x минус 13x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 19x минус 13x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ' левая круг­лая скоб­ка 13 минус 7x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 19x минус 13x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 19x минус 13x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 19 минус 26x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 13 минус 7x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 19x минус 13x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 133x плюс 91x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 247 минус 338x минус 133x плюс 182x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 19x минус 13x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: минус 133x плюс 91x в квад­ра­те минус 247 плюс 338x плюс 133x минус 182x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 19x минус 13x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 91x в квад­ра­те минус 247 плюс 338x, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 19x минус 13x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 13 левая круг­лая скоб­ка 7x в квад­ра­те минус 26x плюс 19 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 19x минус 13x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби .

Решая квад­рат­ное урав­не­ние 7x в квад­ра­те минус 26x плюс 19=0, на­хо­дим

x= дробь: чис­ли­тель: 13\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 169 минус 19 умно­жить на 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 13\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 13\pm 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Зна­чит, x=1 или x= дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби . Тогда про­из­вод­ную можно за­пи­сать в виде

 дробь: чис­ли­тель: минус 13 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 7x минус 19 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 19x минус 13x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 13 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 19 минус 7x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 19x минус 13x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби .

По­сколь­ку при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка зна­ме­на­тель по­ло­жи­те­лен и 19 минус 7x боль­ше 0, знак про­из­вод­ной опре­де­ля­ет­ся зна­ком x минус 1, по­это­му она от­ри­ца­тель­на при x мень­ше 1 и по­ло­жи­тель­на при x боль­ше 1, по­это­му функ­ция убы­ва­ет при x мень­ше 1 и воз­рас­та­ет при x боль­ше 1. Зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние она при­ни­ма­ет при x=1. Тогда 19 минус 13x=6.

 

Ответ: 6 Ф.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4518

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 6 из 10