Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4518
i

Сумма со­про­тив­ле­ний трех про­вод­ни­ков равна 14 Ом. Со­про­тив­ле­ние пер­во­го про­вод­ни­ка в 4 раза боль­ше со­про­тив­ле­ния вто­ро­го про­вод­ни­ка. Опре­де­ли­те, при каком зна­че­нии со­про­тив­ле­ния тре­тье­го про­вод­ни­ка общее со­про­тив­ле­ние цепи, со­став­лен­ной па­рал­лель­ным со­еди­не­ни­ем этих трех про­вод­ни­ков, наи­боль­шее. Со­про­тив­ле­ние R цепи па­рал­лель­но со­еди­нен­ных про­вод­ни­ков с со­про­тив­ле­ни­я­ми R_1, R_2 и R_3 опре­де­ля­ет­ся из фор­му­лы  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: R конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: R_1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: R_2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: R_3 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть со­про­тив­ле­ние вто­ро­го про­вод­ни­ка равно x Ом, тогда пер­во­го  — 4x, а тре­тье­го  — 14 минус 5x Ом. Сле­до­ва­тель­но, x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . На этом про­ме­жут­ке нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 14 минус 5x конец дроби , по­сколь­ку имен­но оно даст наи­боль­шее зна­че­ние R.

Упро­стим по­лу­чен­ную функ­цию:

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 14 минус 5x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 14 минус 5x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 14 минус 5x конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка 14 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4x, зна­ме­на­тель: 4x левая круг­лая скоб­ка 14 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 70 минус 21x, зна­ме­на­тель: 4x левая круг­лая скоб­ка 14 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7 левая круг­лая скоб­ка 10 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4x левая круг­лая скоб­ка 14 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 10 минус 3x, зна­ме­на­тель: 14x минус 5x в квад­ра­те конец дроби .

Пер­вый мно­жи­тель не вли­я­ет на по­ло­же­ние точки ми­ни­му­ма. Возь­мем про­из­вод­ную:

 

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 10 минус 3x, зна­ме­на­тель: 14x минус 5x в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 10 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка ' левая круг­лая скоб­ка 14x минус 5x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 14x минус 5x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ' левая круг­лая скоб­ка 10 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 14x минус 5x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 14x минус 5x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 14 минус 10x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 10 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 14x минус 5x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: минус 42x плюс 15x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 140 минус 100x минус 42x плюс 30x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 14x минус 5x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 42x плюс 15x в квад­ра­те минус 140 плюс 100x плюс 42x минус 30x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 14x минус 5x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: минус 15x в квад­ра­те плюс 100x минус 140, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 14x минус 5x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 5 левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 20x плюс 28 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 14x минус 5x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби .

Решая квад­рат­ное урав­не­ние 3x в квад­ра­те минус 20x плюс 28=0, на­хо­дим

x= дробь: чис­ли­тель: 10\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 100 минус 28 умно­жить на 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 10\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 10\pm 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Зна­чит, x=2 или x= дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Тогда про­из­вод­ную можно за­пи­сать в виде

 дробь: чис­ли­тель: минус 5 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3x минус 14 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 14x минус 5x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 14 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 14x минус 5x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби .

По­сколь­ку при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка зна­ме­на­тель функ­ции по­ло­жи­те­лен и 14 минус 3x боль­ше 0, знак про­из­вод­ной опре­де­ля­ет­ся зна­ком x минус 2, по­это­му она от­ри­ца­тель­на при x мень­ше 2 и по­ло­жи­тель­на при x боль­ше 2, от­сю­да функ­ция убы­ва­ет при x мень­ше 2 и воз­рас­та­ет при x боль­ше 2. Зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция при­ни­ма­ет при x=2. Тогда 14 минус 5x=14 минус 10 = 4.

 

Ответ: 4 ома.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4524

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 6 из 10