Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4521
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 3x минус 35 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс x минус 36 мень­ше или равно |2x плюс 1|.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем ОДЗ не­ра­вен­ства:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x в квад­ра­те плюс 3x минус 35 боль­ше или равно 0,2x в квад­ра­те плюс x минус 36 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 5,x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x боль­ше или равно 4 конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 5,x боль­ше или равно 4. конец со­во­куп­но­сти .

По­лу­ча­ем, что ОДЗ не­ра­вен­ства  — мно­же­ство  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 4; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пе­ре­не­сем вто­рое сла­га­е­мое из левой части не­ра­вен­ства в пра­вую

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те плюс 3x минус 35 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно |2x плюс 1| минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 конец ар­гу­мен­та

и воз­ве­дем обе части по­лу­чен­но­го не­ра­вен­ства в квад­рат. Чтобы воз­ве­де­ние в чет­ную сте­пень не при­ве­ло к по­яв­ле­нию по­сто­рон­них ре­ше­ний, убе­дим­ся, что при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной из ОДЗ пра­вая часть не­ра­вен­ства по­ло­жи­тель­на:

|2x плюс 1| минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но |2x плюс 1| боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те плюс 4x плюс 1 боль­ше или равно 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 боль­ше или равно 0 \underset ОДЗ \mathop рав­но­силь­но 2x в квад­ра­те плюс 3x плюс 37 боль­ше 0,

что верно для всех х. Итак, на ОДЗ имеем:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те плюс 3x минус 35 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно |2x плюс 1| минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно 2x в квад­ра­те плюс 3x минус 35 мень­ше или равно левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 минус 2|2x плюс 1| ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но |2x плюс 1| ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 2x в квад­ра­те плюс x.

При x боль­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби по­лу­ча­ем:

\left|2x плюс 1| левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 конец ар­гу­мен­та минус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно x рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 мень­ше или равно x в квад­ра­те .

Дан­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но си­сте­ме

 си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 боль­ше или равно 0,x в квад­ра­те плюс x минус 36 мень­ше или равно 0, x боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x боль­ше или равно 4,x мень­ше или равно 4,5, конец си­сте­мы . 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но 4 мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2.

При x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби по­лу­ча­ем:

 левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 конец ар­гу­мен­та плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0,

так как 2x плюс 1 мень­ше или равно 0, то  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те плюс x минус 36 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно минус x.

Учи­ты­вая пре­об­ра­зо­ва­ния в пер­вом слу­чае и об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний для x, имеем:

 дробь: чис­ли­тель: минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно минус 5.

Объ­еди­нив по­лу­чив­ши­е­ся ре­ше­ния, по­лу­чим ответ.

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 4; дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4527

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства
?
Сложность: 9 из 10