Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4521

Решите неравенство  корень из 2x в квадрате плюс 3x минус 35 плюс корень из 2x в квадрате плюс x минус 36 меньше или равно |2x плюс 1|.

Спрятать решение

Решение.

Найдем ОДЗ неравенства:

 система выражений 2x в квадрате плюс 3x минус 35 больше или равно 0,2x в квадрате плюс x минус 36 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 7 правая круглая скобка больше или равно 0, левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 9 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно минус 5,x больше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . совокупность выражений x меньше или равно минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше или равно 4 конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше или равно минус 5,x больше или равно 4. конец совокупности .

Получаем, что ОДЗ неравенства  — множество  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; бесконечность правая круглая скобка .

Перенесем второе слагаемое из левой части неравенства в правую

 корень из 2x в квадрате плюс 3x минус 35 меньше или равно |2x плюс 1| минус корень из 2x в квадрате плюс x минус 36

и возведем обе части полученного неравенства в квадрат. Чтобы возведение в четную степень не привело к появлению посторонних решений, убедимся, что при всех значениях переменной из ОДЗ правая часть неравенства положительна:

|2x плюс 1| минус корень из 2x в квадрате плюс x минус 36 больше или равно 0 равносильно |2x плюс 1| больше или равно корень из 2x в квадрате плюс x минус 36 равносильно
 равносильно 4x в квадрате плюс 4x плюс 1 больше или равно 2x в квадрате плюс x минус 36 больше или равно 0 \underset ОДЗ \mathop равносильно 2x в квадрате плюс 3x плюс 37 больше 0,

что верно для всех х. Итак, на ОДЗ имеем:

 корень из 2x в квадрате плюс 3x минус 35 меньше или равно |2x плюс 1| минус корень из 2x в квадрате плюс x минус 36 равносильно
 равносильно 0 меньше или равно 2x в квадрате плюс 3x минус 35 меньше или равно левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 2x в квадрате плюс x минус 36 минус 2|2x плюс 1| корень из 2x в квадрате плюс x минус 36 равносильно
 равносильно |2x плюс 1| корень из 2x в квадрате плюс x минус 36 меньше или равно 2x в квадрате плюс x.

При x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби получаем:

\left|2x плюс 1| левая круглая скобка корень из 2x в квадрате плюс x минус 36 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно корень из 2x в квадрате плюс x минус 36 меньше или равно x равносильно 0 меньше или равно 2x в квадрате плюс x минус 36 меньше или равно x в квадрате .

Данное неравенство равносильно системе

 система выражений 2x в квадрате плюс x минус 36 больше или равно 0,x в квадрате плюс x минус 36 меньше или равно 0, x больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x больше или равно 4,x меньше или равно 4,5, конец системы . 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: минус 1 плюс корень из 145, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно 4 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: минус 1 плюс корень из 145, знаменатель: конец дроби 2.

При x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби получаем:

 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 2x в квадрате плюс x минус 36 плюс x правая круглая скобка больше или равно 0,

так как 2x плюс 1 меньше или равно 0, то  корень из 2x в квадрате плюс x минус 36 меньше или равно минус x.

Учитывая преобразования в первом случае и область допустимых значений для x, имеем:

 дробь: числитель: минус 1 минус корень из 145, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно минус 5.

Объединив получившиеся решения, получим ответ.

 

Ответ:  левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 1 минус корень из 145, знаменатель: 2 конец дроби ; минус 5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; дробь: числитель: минус 1 плюс корень из 145, знаменатель: конец дроби 2 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4527

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2000 год, вариант 1
? Классификатор: Иррациональные неравенства
?
Сложность: 9 из 10