Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4527
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 7x минус 30 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 5x минус 33 мень­ше или равно |2x минус 3|.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем ОДЗ не­ра­вен­ства:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x в квад­ра­те минус 7x минус 30 боль­ше или равно 0,2x в квад­ра­те минус 5x минус 33 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 11 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x боль­ше или равно 6, конец си­сте­мы . со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 3,x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 3,x боль­ше или равно 6. конец со­во­куп­но­сти .

Зна­чит, ОДЗ не­ра­вен­ства  — мно­же­ство  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 6; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Воз­ве­дем не­ра­вен­ство в квад­рат (обе его части не­от­ри­ца­тель­ны):

2x в квад­ра­те минус 7x минус 30 плюс 2x в квад­ра­те минус 5x минус 33 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те минус 7x минус 30 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те минус 5x минус 33 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 4x в квад­ра­те минус 12x плюс 9 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те минус 7x минус 30 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те минус 5x минус 33 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 72 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те минус 7x минус 30 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те минус 5x минус 33 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 36.

Воз­ве­дем в квад­рат еще раз:

 левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те минус 7x минус 30 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те минус 5x минус 33 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 36 в квад­ра­те .

При x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби обе скоб­ки равны −36, по­это­му в этой точке до­сти­га­ет­ся ра­вен­ство. Пе­рей­дем к рав­но­силь­но­му не­ра­вен­ству:

4x в сте­пе­ни 4 минус 14x в кубе минус 60x в квад­ра­те минус 10x в кубе плюс 35x в квад­ра­те плюс 150x минус 66x в квад­ра­те плюс 231x плюс 990 минус 1296 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 4x в сте­пе­ни 4 минус 24x в кубе минус 91x в квад­ра­те плюс 381x минус 306 мень­ше или равно 0.

Выше было от­ме­че­но, что одним из кор­ней мно­го­чле­на в левой части будет x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му можно вы­де­лить мно­жи­тель 2x минус 3. Можно вы­де­лить и еще один такой мно­жи­тель:

 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x в кубе минус 9x в квад­ра­те минус 59x плюс 102 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x минус 34 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

Оче­вид­но,  левая круг­лая скоб­ка 2x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те на ОДЗ всюду по­ло­жи­тель­но и его можно со­кра­тить. По­лу­чим x в квад­ра­те минус 3x минус 34 мень­ше или равно 0. Кор­ня­ми урав­не­ния x в квад­ра­те минус 3x минус 34=0 будут  дробь: чис­ли­тель: 3\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства  — это от­ре­зок  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . За­ме­тим также, что

 дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3 минус 12, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше минус 3 и  дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3 плюс 12, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 6.

Окон­ча­тель­но, учи­ты­вая ОДЗ, по­лу­ча­ем ответ: x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 6; дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 6; дробь: чис­ли­тель: 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4521

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства
?
Сложность: 9 из 10