Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4527

Решите неравенство  корень из (2x) в квадрате минус 7x минус 30 плюс корень из (2x) в квадрате минус 5x минус 33 меньше или равно |2x минус 3|.

Спрятать решение

Решение.

Найдем ОДЗ неравенства:

 система выражений 2x в квадрате минус 7x минус 30 больше или равно 0,2x в квадрате минус 5x минус 33 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений (x минус 6)(2x плюс 5) больше или равно 0,(x плюс 3)(2x минус 11) больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше или равно 6, конец системы . совокупность выражений x меньше или равно минус 3,x больше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше или равно минус 3,x больше или равно 6. конец совокупности .

Значит, ОДЗ неравенства — множество ( минус принадлежит fty; минус 3]\cup [6; принадлежит fty).

Возведем неравенство в квадрат (обе его части неотрицательны):

2x в квадрате минус 7x минус 30 плюс 2x в квадрате минус 5x минус 33 плюс 2 корень из (2x в квадрате минус 7x минус 30) корень из (2x в квадрате минус 5x минус 33) меньше или равно 4x в квадрате минус 12x плюс 9 равносильно
 равносильно 2 корень из (2x в квадрате минус 7x минус 30) корень из (2x в квадрате минус 5x минус 33) меньше или равно 72 равносильно корень из (2x в квадрате минус 7x минус 30) корень из (2x в квадрате минус 5x минус 33) меньше или равно 36.

Возведем в квадрат еще раз:

(2x в квадрате минус 7x минус 30)(2x в квадрате минус 5x минус 33) меньше или равно 36 в квадрате .

При x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби обе скобки равны −36, поэтому в этой точке достигается равенство. Перейдем к равносильному неравенству:

4x в степени 4 минус 14x в кубе минус 60x в квадрате минус 10x в кубе плюс 35x в квадрате плюс 150x минус 66x в квадрате плюс 231x плюс 990 минус 1296 меньше или равно 0 равносильно 4x в степени 4 минус 24x в кубе минус 91x в квадрате плюс 381x минус 306 меньше или равно 0.

Выше было отмечено, что одним из корней многочлена в левой части будет x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , поэтому можно выделить множитель 2x минус 3. Можно выделить и еще один такой множитель:

(2x минус 3)(2x в кубе минус 9x в квадрате минус 59x плюс 102) меньше или равно 0 равносильно (2x минус 3)(2x минус 3)(x в квадрате минус 3x минус 34) меньше или равно 0.

Очевидно, (2x минус 3) в квадрате на ОДЗ всюду положительно и его можно сократить. Получим x в квадрате минус 3x минус 34 меньше или равно 0. Корнями уравнения x в квадрате минус 3x минус 34=0 будут  дробь: числитель: 3\pm корень из (145) , знаменатель: 2 конец дроби , поэтому множество решений неравенства — это отрезок  левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 минус корень из (145) , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 плюс корень из (145) , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Заметим также, что

 дробь: числитель: 3 минус корень из (145) , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 минус 12, знаменатель: 2 конец дроби меньше минус 3 и  дробь: числитель: 3 плюс корень из (145) , знаменатель: 2 конец дроби больше дробь: числитель: 3 плюс 12, знаменатель: 2 конец дроби больше 6.

Окончательно, учитывая ОДЗ, получаем ответ: x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 минус корень из (145) , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 6; дробь: числитель: 3 плюс корень из (145) , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка

 

Ответ:  левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 минус корень из (145) , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 6; дробь: числитель: 3 плюс корень из (145) , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4521

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2000 год, вариант 2
? Классификатор: Иррациональные неравенства
?
Сложность: 9 из 10