РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4516

Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 2\log _2 левая круглая скобка 6 минус 2x правая круглая скобка минус 10=0.$

Спрятать решение

Решение.

Используя свойства логарифма, получаем равносильное уравнение

$4\log в квадрате _2\left|x минус 3| плюс 3 логарифм по основанию 2 2 плюс 3 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка минус 10 = 0.$

Так как областью определения логарифмической функции является $R _ плюс ,$ то $x меньше 3,$ а тогда $|x минус 3| = 3 минус x.$

Пусть $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка = y,$ тогда получим квадратное уравнение относительно $y:$

$4y в квадрате плюс 3y минус 7 = 0.$

Заметим, что сумма коэффициентов многочлена равна нулю, значит, один из корней равен 1, а другой равен $минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби .$

Вернемся к исходной переменной:

a)   $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка = 1,$ откуда по определению логарифма

$3 минус x = 2 равносильно x = 1.$

б)   $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби ,$ откуда

$3 минус x = 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка равносильно x = 3 минус 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус 2 правая круглая скобка = 3 минус дробь: числитель: корень 4 степени из 2 , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $x = 1;$ $x = 3 минус дробь: числитель: корень 4 степени из 2 , знаменатель: 4 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4522

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2000 год, вариант 1

? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы

Сложность: 4 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь