Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4522

Решите уравнение 16 минус 9\log _3(3x минус 6) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию (3) в степени (2) (2 минус x) в квадрате =0.

Спрятать решение

Решение.

Сразу заметим, что (2 минус x) в квадрате больше 0 и 3x минус 6 больше 0, откуда x не равно 2 и x больше 2. ОДЗ уравнения: x больше 2.

Пусть  логарифм по основанию 3 (x минус 2)=t, тогда

 логарифм по основанию 3 (3x минус 6)= логарифм по основанию 3 3(x минус 2)= логарифм по основанию 3 3 плюс логарифм по основанию 3 (x минус 2)=1 плюс t

и

 логарифм по основанию 3 (2 минус x) в квадрате = логарифм по основанию 3 (x минус 2) в квадрате =2 логарифм по основанию 3 (x минус 2)=2t.

Уравнение принимает вид 16 минус 9(1 плюс t) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (2t) в квадрате =0. Тогда:

16 минус 9 минус 9t плюс 2t в квадрате =0 равносильно 2t в квадрате минус 9t плюс 7=0 равносильно (t минус 1)(2t минус 7)=0 равносильно совокупность выражений t=1,t= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

Значит  логарифм по основанию 3 (x минус 2)=1, откуда x=5, или  логарифм по основанию 3 (x минус 2)= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби , откуда x=2 плюс 3 в степени (7/2) .

 

Ответ: x = 5; x = 2 плюс 3 в степени (7/2) .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4516

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2000 год, вариант 2
? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы
?
Сложность: 4 из 10