PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых касательная к графику функции 
проведенная в точке графика с абсциссой 1, имеет с этим графиком ровно одну общую точку.
Решение. Функция заданная многочленом, определена и дифференцируема на множестве 
По условию задачи касательная и график функции должны иметь ровно одну общую точку, значит, этой точкой может быть только точка касания, следовательно, абсцисса точки касания 
Составим уравнение касательной в виде 
где 
и 
— значения функции и ее производной при x0 = 1:
Уравнение касательной: 
Равенство 
или после преобразований, 
определяет абсциссы общих точек графика функции и касательной к нему. По условию задачи это уравнение должно иметь одно действительное решение. Но так как рассматриваемое уравнение четвертой степени, это возможно лишь в двух случаях: либо когда уравнение имеет один действительный двукратный корень, либо — один четырехкратный корень. Одно решение нам известно — 
Значит, 1 — по меньшей мере — двукратный корень, и, следовательно, многочлен в левой части уравнения делится на 
Квадратный трехчлен 
таким образом, должен иметь либо кратный корень, либо не иметь действительных корней. Эти условия выполняются, когда его дискриминант неположительное число, т. е. когда 
что возможно при 
Но если 
трехчлен 
имеет кратный корень -1, что нарушает условие задачи.
Таким образом, график функции 
имеет с касательной к нему в точке с абсциссой 1 ровно одну общую точку при всех 
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |