РЕШУ УРОК — выпускные экзамены по математике

Задания

Исследуйте функцию $y= дробь: числитель: натуральный логарифм x, знаменатель: x конец дроби .$ (Найдите область определения, множество значений, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы, промежутки выпуклости, асимптоты, нули.) Постройте ее график.

Решение. 1)  Функция определена при всех $x больше 0.$ При этих значениях x она дифференцируема.

2)  При $x = 1$ $y = 0.$ Причем, если $x меньше 1,$ $y меньше 0,$ если $x больше 1,$ $y больше 0.$

3)  Возьмем производную: $y' = дробь: числитель: 1 минус натуральный логарифм x, знаменатель: x в квадрате конец дроби ;$ $y' = 0,$ если $x = e.$ На промежутке $левая круглая скобка 0;e правая круглая скобка$ функция возрастает, так как для этих значений x $y' больше 0;$ на промежутке $левая круглая скобка e; плюс бесконечность правая круглая скобка$ функция убывает, так как $y' меньше 0.$ Точка $x = e$   — точка максимума.

4)  Так как $x = e$   — единственная точка экстремума, значение функции в этой точке, равное $дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби e,$   — ее наибольшее значение.

5)  Возьмем вторую производную: $y'' = дробь: числитель: 2 натуральный логарифм x минус 3, знаменатель: x в кубе конец дроби ;$ $y'' = 0,$ если $x = e в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$ На промежутке $левая круглая скобка 0;e в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка$ функция имеет выпуклость, так как для этих значений x $y'' меньше 0;$ на промежутке $левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; плюс бесконечность правая круглая скобка$ функция имеет вогнутость, так как $y'' больше .$ Таким образом, $x = e в степени { дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$   — точка перегиба. значение функции в этой точке равно $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2e в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби ,$ значение производной $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2e в кубе .$

6)  Для определения возможного существования асимптот нужно выяснить поведение функции на концах области ее определения, то есть при $x \to 0$ и $x \to плюс бесконечность .$

Имеем: $\undersetx\to 0\mathop\lim y = минус бесконечность ,$ то есть кривая графика функции асимптотически приближается справа к прямой $x = 0;$ $\undersetx\to плюс бесконечность \mathop\lim y = 0,$ то есть кривая функции асимптотически приближается сверху к прямой $y = 0.$

7)  На основе результатов пунктов 4 и 6 делаем вывод, что множество значений функции  — промежуток $левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби e правая круглая скобка .$

8)  График функции $y = дробь: числитель: натуральный логарифм x, знаменатель: x конец дроби$ изображен на рисунке.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ключ