Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4490

Решите неравенство 9 в степени (|x|) плюс 6 умножить на 3 в степени (x) больше или равно 11 и укажите наименьшее натуральное число, ему удовлетворяющее.

Спрятать решение

Решение.

Число 1 удовлетворяет исходному неравенству. Поэтому наименьшее натуральное число, ему удовлетворяющее, есть 1. Для решения самого неравенства рассмотрим 2 случая:

1) x больше или равно 0. Тогда неравенство принимает вид 3 в степени (2x) плюс 6 умножить на 3 в степени (x) минус 11\geqslant0,  левая круглая скобка 3 в степени (x) плюс корень из (20) минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени (x) минус корень из (20) плюс 3 правая круглая скобка \geqslant0, 3 в степени (x) больше или равно корень из (20) минус 3.

Пользуясь свойствами показательной функции, получим

x больше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из (20) минус 3 правая круглая скобка .

Очевидно, что  логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из (20) минус 3 правая круглая скобка больше 0, так как  корень из (20) минус 3 больше 1.

2) x меньше 0. Тогда

3 в степени ( минус 2x) плюс 6 умножить на 3 в степени (x) минус 11 больше или равно 0,

3 в степени (3x) минус 11 умножить на 3 в степени (2x) плюс 1 больше или равно 0.

Пусть f(x) = 6 умножить на 3 в степени (3x) минус 11 умножить на 3 в степени (2x) плюс 1, x меньше 0. Эта функция определена и дифференцируема на  R , а следовательно, и на ( минус принадлежит fty; 0).

f'(x) = 18 умножить на 3 в степени (3x) \ln3 минус 22 умножить на 3 в степени (2x) \ln3 = 2 умножить на 3 в степени (2x) \ln3 левая круглая скобка 9 умножить на 3 в степени (x) минус 11 правая круглая скобка .

Критическими точками этой функции являются нули ее производной, то есть точка x = логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 11, знаменатель: 9 конец дроби . Понятно, что  логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 11, знаменатель: 9 конец дроби больше 0, поэтому на ( минус принадлежит fty; 0) f(x) строго убывает.

Заметим, что x = минус 1 является решением уравнения 9 в степени (|x|) плюс 6 умножить на 3 в степени (x) = 11, а значит, и уравнения f(x) = 0.

Следовательно, в силу строгого убывания функции f(x) на ( минус принадлежит fty; 0), решением неравенства f(x)\geqslant0 при x принадлежит ( минус принадлежит fty; 0) являются все точки промежутка ( минус принадлежит fty; минус 1], и только эти точки.

 

Ответ: ( минус принадлежит fty ; минус 1]\cup [\log _3( корень из (20) минус 3); плюс принадлежит fty ).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4484

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 1997 год, вариант 2
? Классификатор: Показательные неравенства
?
Сложность: 8 из 10