№ 4490 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Расширенная программа. 1. Показательная и логарифмическая функция
i
Решите неравенство 
и укажите наименьшее натуральное число, ему удовлетворяющее.
Решение. Число 1 удовлетворяет исходному неравенству. Поэтому наименьшее натуральное число, ему удовлетворяющее, есть 1. Для решения самого неравенства рассмотрим 2 случая:
1) 
Тогда неравенство принимает вид 
Пользуясь свойствами показательной функции, получим
Очевидно, что 
так как 
2) 
Тогда
Пусть 
Эта функция определена и дифференцируема на 
а следовательно, и на 
Критическими точками этой функции являются нули ее производной, то есть точка 
Понятно, что 
поэтому на 
строго убывает.
Заметим, что 
является решением уравнения 
а значит, и уравнения 
Следовательно, в силу строгого убывания функции на 
решением неравенства 
при 
являются все точки промежутка 
и только эти точки.
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 4484
