Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4272

Решите уравнение  синус в квадрате 6x плюс синус в квадрате 4x=1.

Спрятать решение

Решение.

Используем формулу понижения степени:

 синус в квадрате 6x плюс синус в квадрате 4x=1 равносильно дробь: числитель: 1 минус косинус 12x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1 минус косинус 8x, знаменатель: 2 конец дроби =1 равносильно косинус 8x плюс косинус 12 x =0 равносильно

 

 равносильно 2 косинус 10x косинус 2x=0 равносильно косинус 10x косинус 2x=0 равносильно совокупность выражений косинус 10x = 0, косинус 2x= 0 конец совокупности . равносильно

 равносильно совокупность выражений 10x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби ,x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .

Ответ:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка .

 

Примечание.

Внимательный читатель заметит, что серия  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби содержится в серии  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби . Поэтому ответ можно записать короче:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка . Получить вторую серию из первой можно, подставив, например, в первую серию k=5n плюс 2. Это не случайное совпадение. Для всех нечетных k среди корней уравнения  косинус kx = 0 содержатся корни уравнения  косинус x = 0 (аналогично для синусов). Именно поэтому среди решений уравнения  косинус 2x = 0 содержится все решения уравнения  косинус 10 x = 0. Умение находить общие члены серий выходят за рамки базового курса математики. Записывать ответ в виде серий с неповторяющимися членами не требуется.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4282

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, экз. сборник под редакцией Г. В. Дорофеева, 2004 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 6 из 10
Спрятать решение · ·
Илья Бредихин 23.12.2021 04:57

Здравствуйте. Вторая серия корней содержится в первой, так как при подстановке вместо k 5n+2 в первую серию получится в точности вторая.

Служба поддержки

Совершенно верно. Написали подробное примечание.