Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4272
i

Ре­ши­те урав­не­ние  синус в квад­ра­те 6x плюс синус в квад­ра­те 4x=1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу по­ни­же­ния сте­пе­ни:

 синус в квад­ра­те 6x плюс синус в квад­ра­те 4x=1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 12x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 8x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1 рав­но­силь­но ко­си­нус 8x плюс ко­си­нус 12 x =0 рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус 10x ко­си­нус 2x=0 рав­но­силь­но ко­си­нус 10x ко­си­нус 2x=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 10x = 0, ко­си­нус 2x= 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 10x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k,2x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби ,x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель за­ме­тит, что серия  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби со­дер­жит­ся в серии  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби . По­это­му ответ можно за­пи­сать ко­ро­че:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка . По­лу­чить вто­рую серию из пер­вой можно, под­ста­вив, на­при­мер, в первую серию k=5n плюс 2. Это не слу­чай­ное сов­па­де­ние. Для всех не­чет­ных k среди кор­ней урав­не­ния  ко­си­нус kx = 0 со­дер­жат­ся корни урав­не­ния  ко­си­нус x = 0 (ана­ло­гич­но для си­ну­сов). Имен­но по­это­му среди ре­ше­ний урав­не­ния  ко­си­нус 2x = 0 со­дер­жит­ся все ре­ше­ния урав­не­ния  ко­си­нус 10 x = 0. Уме­ние на­хо­дить общие члены серий вы­хо­дят за рамки ба­зо­во­го курса ма­те­ма­ти­ки. За­пи­сы­вать ответ в виде серий с не­по­вто­ря­ю­щи­ми­ся чле­на­ми не тре­бу­ет­ся.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4282

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, экз. сбор­ник под ре­дак­ци­ей Г. В. До­ро­фе­е­ва, 2004 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 6 из 10
Илья Бредихин 23.12.2021 04:57

Здрав­ствуй­те. Вто­рая серия кор­ней со­дер­жит­ся в пер­вой, так как при под­ста­нов­ке вме­сто k 5n+2 в первую серию по­лу­чит­ся в точ­но­сти вто­рая.

Служба поддержки

Со­вер­шен­но верно. На­пи­са­ли по­дроб­ное при­ме­ча­ние.