Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4048
i

Ре­ши­те урав­не­ние \log _ ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x=\log _ ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция опре­де­ле­на на мно­же­стве ℝ. Зна­че­ния двух ло­га­риф­ми­че­ских функ­ций с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми равны в том слу­чае, когда равны их ар­гу­мен­ты. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем урав­не­ние

ко­си­нус x=1 минус 2 ко­си­нус в квад­ра­те x рав­но­силь­но 2 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус x минус 1=0.

Решим это урав­не­ние и от­бе­рем те корни, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют усло­вию ко­си­нус x боль­ше 0. За­ме­тим, что до­ста­точ­но ука­зать, что одно из вы­ра­же­ний, сто­я­щих под зна­ком ло­га­риф­ма, боль­ше нуля, по­сколь­ку дру­гое ему равно и тоже будет по­ло­жи­тель­ным. Мы вы­бра­ли вы­ра­же­ние из левой части по­то­му, что его проще про­ве­рить. Урав­не­ние сво­дит­ся к квад­рат­но­му. Если ко­си­нус x=y, то по­лу­ча­ем

2y в квад­ра­те плюс y минус 1=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний y= минус 1,y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

1)  При ко­си­нус x= минус 1, усло­вие ко­си­нус x боль­ше 0 не вы­пол­ня­ет­ся, сле­до­ва­тель­но, корни этого урав­не­ния нам не под­хо­дят;

2)  При ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , усло­вие ко­си­нус x боль­ше 0 вы­пол­ня­ет­ся, сле­до­ва­тель­но, корни x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z , этого урав­не­ния яв­ля­ют­ся кор­ня­ми ис­ход­но­го урав­не­ния.

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n : n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4042

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния , Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
?
Сложность: 5 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025