№ 4042 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 14. Комбинированные уравнения, неравенства, системы
i
Решите уравнение 
Решение. Основания логарифмов равны. Учитывая, что логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента, запишем систему, равносильную данному уравнению:
Для решения уравнения воспользуемся условиями равенства одноименных тригонометрических функций. Тригонометрическое уравнение 
имеет две серии корней, когда 
или 
(см. рис.). 
Таким образом, для уравнения 
рассмотрим два случая.
1) Когда 
Следовательно, 
Данные значения удовлетворяют неравенству системы: 
где 
2) Когда 
Следовательно, 
Изобразим данные значения на единичной окружности (см. рис.). При 
получим 
при 
получим 
при 
получим 
при 
получим 
Как видим, при 
и 
точки, соответствующие числам, совпадают. При 
и 
точки, соответствующие числам 
и 
также совпадают. Замечаем, что при 
и при 
корни попадают в уже указанные точки. Отберем из них те, что удовлетворяют неравенству системы. На втором рисунке видно, что корни серии 
удовлетворяют неравенству и, следовательно, являются решениями системы. Остальные корни находятся в нижней полуплоскости, т. е. 
Следовательно, они не являются решениями системы.
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 4048
