№ 3983 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 25. Разные задачи
i
Найдите все такие пары чисел
что 
Спрятать решениеРешение. Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Заметим, что
причем равенство выполняется только при
Оценим правую часть исходного уравнения. Воспользуемся свойством синуса:

Таким образом, если исходное уравнение имеет решение, то только при
т. е.

Искомая пара чисел имеет следующий вид: 
Ответ: все пары вида
удовлетворяет равенству 
Ⅱ способ. Пусть
Выразим y через t:
Преобразуем обе части уравнения: получим
и

Так как
и
то полученное уравнение будет иметь корни, если выполняется условие:

Найдем соответствующие значения t:



Так как квадрат любого числа неотрицателен, то данное неравенство равносильно уравнению
и

Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: все пары вида

удовлетворяет равенству

Задание парного варианта: 3989