Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3983
i

Най­ди­те все такие пары чисел  левая круг­лая скоб­ка x;y пра­вая круг­лая скоб­ка , что  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 8x плюс 20=2 синус y.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу двумя спо­со­ба­ми.

Ⅰ спо­соб. За­ме­тим, что  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно 2, при­чем ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся толь­ко при x= минус 4. Оце­ним пра­вую часть ис­ход­но­го урав­не­ния. Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством си­ну­са:

 минус 1 мень­ше или равно синус y мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но минус 2 мень­ше или равно 2 синус y мень­ше или равно 2.

Таким об­ра­зом, если ис­ход­ное урав­не­ние имеет ре­ше­ние, то толь­ко при  синус y=1, т. е.

y= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z .

Ис­ко­мая пара чисел имеет сле­ду­ю­щий вид:  левая круг­лая скоб­ка минус 4; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка , n при­над­ле­жит Z .

 

Ответ: все пары вида  левая круг­лая скоб­ка минус 4; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка , n при­над­ле­жит Z , удо­вле­тво­ря­ет ра­вен­ству  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 8x плюс 20 конец ар­гу­мен­та =2 синус y.

 

Ⅱ спо­соб. Пусть x=t. Вы­ра­зим y через t:  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те плюс 8t плюс 20 конец ар­гу­мен­та =2 синус y. Пре­об­ра­зу­ем обе части урав­не­ния: по­лу­чим  t в квад­ра­те плюс 8t плюс 20= левая круг­лая скоб­ка t плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 4 боль­ше 0 и

 синус y= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те плюс 8t плюс 20 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Так как  минус 1 мень­ше или равно синус y мень­ше или равно 1 и  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те плюс 8t плюс 20 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 0, то по­лу­чен­ное урав­не­ние будет иметь корни, если вы­пол­ня­ет­ся усло­вие:

 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те плюс 8t плюс 20 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно 1.

Най­дем со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния t:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те плюс 8t плюс 20 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но t в квад­ра­те плюс 8t плюс 20 мень­ше или равно 4 рав­но­силь­но t в квад­ра­те плюс 8t плюс 16 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 0.

Так как квад­рат лю­бо­го числа не­от­ри­ца­те­лен, то дан­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но урав­не­нию  левая круг­лая скоб­ка t плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но t= минус 4 и

 синус y= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 8 левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 20 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но синус y=1 рав­но­силь­но y= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3989

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 2000 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Урав­не­ния с двумя пе­ре­мен­ны­ми
?
Сложность: 6 из 10