Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3969
i

Най­ди­те про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти, точки экс­тре­му­ма и экс­тре­му­мы функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =12x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 15x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 40x в кубе плюс 13.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смат­ри­ва­е­мая функ­ция яв­ля­ет­ся мно­го­чле­ном. Мы имеем D левая круг­лая скоб­ка f пра­вая круг­лая скоб­ка = R и D левая круг­лая скоб­ка f' пра­вая круг­лая скоб­ка = R . Най­дем про­из­вод­ную ука­зан­ной функ­ции:

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =60x в сте­пе­ни 4 минус 60x в кубе минус 120x в квад­ра­те .

Решив урав­не­ние f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0, най­дем кри­ти­че­ские точки функ­ции:

60x в сте­пе­ни 4 минус 60x в кубе минус 120x в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но 60x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 60x в квад­ра­те =0, x в квад­ра­те минус x минус 2=0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,x= минус 1, x=2. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ные числа раз­би­ва­ют мно­же­ство дей­стви­тель­ных чисел на че­ты­ре про­ме­жут­ка. Опре­де­лим знак про­из­вод­ной на каж­дом про­ме­жут­ке (см. рис.).

На про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка имеем y' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, так как y' левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0; на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка 0; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка имеем y' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, так как y' левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 120 мень­ше 0; на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка имеем y' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, так как y' левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0; сле­до­ва­тель­но, на про­ме­жут­ках  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и  левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка функ­ция воз­рас­та­ет; на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка функ­ция убы­ва­ет. Точки x= минус 1 и x=2 яв­ля­ют­ся точ­ка­ми экс­тре­му­ма, так как в них про­из­вод­ная дан­ной функ­ции ме­ня­ет знак. По­счи­та­ем зна­че­ния функ­ции в точ­ках экс­тре­му­ма:

y левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =12 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 5 минус 15 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 минус 40 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс 13= минус 12 минус 15 плюс 40 плюс 13=26

и

y левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =12 умно­жить на 2 в сте­пе­ни 5 минус 15 умно­жить на 2 в сте­пе­ни 4 минус 40 умно­жить на 2 в кубе плюс 13=2 в кубе левая круг­лая скоб­ка 48 минус 30 минус 40 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 13=
=8 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 22 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 13= минус 176 плюс 13= минус 163.

 

Ответ: функ­ция убы­ва­ет на  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ; функ­ция воз­рас­та­ет на  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и  левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; точки экс­тре­му­мов: x= минус 1 и x=2; экс­тре­му­мы функ­ции: y левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =26 и y левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 163.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3975

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 2000 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 4 из 10