Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3965

Решите уравнение  синус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби =2 в степени ( \textstyle \log ) _5 корень из (x) в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу двумя способами.

Ⅰ способ. Оценим выражение, стоящее в правой части:

2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 5 корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) ) =2 в степени ( \textstyle логарифм по основанию 5 корень из ( левая круглая скобка x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 5) ) } больше или равно 2 в степени ( логарифм по основанию 5 корень из 5 ) = корень из 2 ,

причем равенство достигается при x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Подставим это значение в левую часть:

 синус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби = корень из 2 .

Значит, x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби является корнем уравнения. Аналогично варианту 1 доказывается, что других корней нет.

 

Ⅱ способ. В предложенном выше способе применим метод оценки значений выражений, входящих в уравнение. Давайте посмотрим, насколько трудоемким будет решение, если использовать производную. Решите уравнение:

 синус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби =2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 5 корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) ) .

Данное уравнение равносильно системе:

 система выражений y= синус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби ,y=2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 5 корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) ) . конец системы .

Система имеет решение, если графики указанных функций пересекаются. Рассмотрим первую функцию. Обозначим ее f(x). То D(f)= R , так как функции синус и косинус определены для любого значения x. Найдем множество значений этой функции E(f), используя производную, D(f)= R , получим

y'= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка минус синус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно  y'= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

Найдем точки экстремума и экстремумы данной функции:

 косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби =0.

Увидим, что  косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби =0 не является корнем уравнения, так как синус и косинус одного и того же аргумента одновременно в нуль обращаться не могут. Разделив на  косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби =0, получим:

 тангенс дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 1=0 равносильно тангенс дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби = минус 1.

Запишем две серии корней: первая

 дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z равносильно 3 Пи x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи n равносильно x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 n, знаменатель: 3 конец дроби , n принадлежит Z ;

вторая

 дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z равносильно 3 Пи x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит Z .

Решим

f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 n, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 n, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 n, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка =
= синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n правая круглая скобка =
= синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби = минус корень из 2 ,

и

y левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 k, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 k, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 k, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка = синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка =
= синус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби минус левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби = корень из 2 .

Таким образом, E(f)=| минус корень из 2 ; корень из 2 |. Рассмотрим вторую функцию. Обозначим ее g(x), то

g'(x)=2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 5 корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) ) умножить на \ln2 левая круглая скобка логарифм по основанию 5 корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) правая круглая скобка =
=2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 5 корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) ) умножить на \ln2 дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln 5 умножить на корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) конец дроби левая круглая скобка корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) } правая круглая скобка '=2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 5 корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) ) умножить на \ln2 дробь: числитель: 1, знаменатель: \ln 5 умножить на корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) конец дроби } умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка '= дробь: числитель: 2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 5 корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) ) \ln 2, знаменатель: \ln5 умножить на левая круглая скобка корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) правая круглая скобка в квадрате конец дроби (2x минус 1)= дробь: числитель: 2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 5 корень из (x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) ) умножить на \log в квадрате _5(2x минус 1), знаменатель: x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби конец дроби .

Найдем точки экстремумов и экстремумы функции g(x). Уравнение g'(x)=0 имеет единственное решение x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Так как 2 в степени t больше 0 при любом t, знаменатель не обращается в нуль при любом x. Подкоренное выражение x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби } больше 0 при любом x, следовательно, арифметический корень существует при любом х, причем он больше нуля, т. е. логарифм данного выражения тоже существует при любом x: g левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = корень из 2 , при E(g)=[ корень из 2 ; плюс принадлежит fty ) и

g'(0)= дробь: числитель: 2 в степени ( логарифм по основанию 5 корень из ( дробь: числитель: 21, знаменатель: 2 конец дроби ) ) умножить на логарифм по основанию 5 2 умножить на ( минус 1), знаменатель: дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби конец дроби меньше 0,

так как 2 в степени t больше 0 при любом t, то 0 меньше или равно логарифм по основанию 5 1 меньше логарифм по основанию 5 2: получим

g'(1)= дробь: числитель: 2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 5 корень из ( дробь: числитель: 21, знаменатель: 2 конец дроби ) ) умножить на логарифм по основанию 5 2 умножить на 1 умножить на 4, знаменатель: 21 конец дроби больше 0 равносильно логарифм по основанию 5 2 больше логарифм по основанию 5 1=0.

Производная в точке x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меняет знак с − на +, значит, данная точка является точкой минимума, а x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби  — точка минимума; значит

g левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 5 корень из ( левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби ) =2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 5 корень из ( дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) ) =2 в степени ( логарифм по основанию 5 корень из 5 ) =2 в степени ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) = корень из 2 .

Наименьшее значение функции g(x), равное  корень из 2 , достигается при x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Проверим, достигает ли функция f(x) при x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби своего наибольшего значения, равного  корень из 2 :

f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = синус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби минус левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = корень из 2 .

Следовательно, графики пересекаются а точке  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; корень из 2 правая круглая скобка , и система имеет решение  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; корень из 2 правая круглая скобка . Значение абсциссы точки пересечения является корнем исходного уравнения.

 

Ответ: \left \ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3959

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2000 год, работа 3, вариант 2
? Классификатор: Показательные уравнения и их системы, Тригонометрические уравнения , Уравнения и неравенства смешанного типа
?
Сложность: 6 из 10