Решим задачу двумя способами.

Ⅰ способ. Оценим выражение, стоящее в правой части:

причем равенство достигается при Подставим это значение в левую часть:

Значит, является корнем уравнения. Аналогично варианту 1 доказывается, что других корней нет.

Ⅱ способ. В предложенном выше способе применим метод оценки значений выражений, входящих в уравнение. Давайте посмотрим, насколько трудоемким будет решение, если использовать производную. Решите уравнение:

Данное уравнение равносильно системе:

Система имеет решение, если графики указанных функций пересекаются. Рассмотрим первую функцию. Обозначим ее То так как функции синус и косинус определены для любого значения x. Найдем множество значений этой функции используя производную, получим

Найдем точки экстремума и экстремумы данной функции:

Увидим, что не является корнем уравнения, так как синус и косинус одного и того же аргумента одновременно в нуль обращаться не могут. Разделив на получим:

Запишем две серии корней: первая

вторая

Решим

и

Таким образом, Рассмотрим вторую функцию. Обозначим ее g(x), то

Найдем точки экстремумов и экстремумы функции g(x). Уравнение имеет единственное решение Так как при любом t, знаменатель не обращается в нуль при любом x. Подкоренное выражение при любом x, следовательно, арифметический корень существует при любом х, причем он больше нуля, т. е. логарифм данного выражения тоже существует при любом x: при и

так как при любом t, то

Производная в точке меняет знак с − на +, значит, данная точка является точкой минимума, а  — точка минимума; значит

Наименьшее значение функции равное достигается при Проверим, достигает ли функция при своего наибольшего значения, равного

Следовательно, графики пересекаются а точке и система имеет решение Значение абсциссы точки пересечения является корнем исходного уравнения.

Ответ: