PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Оценим выражение, стоящее в правой части:
причем равенство достигается при 
Подставим это значение в левую часть:
Значит, 
является корнем уравнения. Аналогично варианту 1 доказывается, что других корней нет.
Ⅱ способ. В предложенном выше способе применим метод оценки значений выражений, входящих в уравнение. Давайте посмотрим, насколько трудоемким будет решение, если использовать производную. Решите уравнение:
Данное уравнение равносильно системе:
Система имеет решение, если графики указанных функций пересекаются. Рассмотрим первую функцию. Обозначим ее 
То 
так как функции синус и косинус определены для любого значения x. Найдем множество значений этой функции 
используя производную, получим
Найдем точки экстремума и экстремумы данной функции:
Увидим, что 
не является корнем уравнения, так как синус и косинус одного и того же аргумента одновременно в нуль обращаться не могут. Разделив на 
получим:
Запишем две серии корней: первая
вторая
Решим
и
Таким образом, 
Рассмотрим вторую функцию. Обозначим ее g(x), то
Найдем точки экстремумов и экстремумы функции g(x). Уравнение 
имеет единственное решение Так как 
при любом t, знаменатель не обращается в нуль при любом x. Подкоренное выражение 
при любом x, следовательно, арифметический корень существует при любом х, причем он больше нуля, т. е. логарифм данного выражения тоже существует при любом x: 
при 
и
так как при любом t, то 
Производная в точке 
меняет знак с − на +, значит, данная точка является точкой минимума, а — точка минимума; значит
Наименьшее значение функции 
равное 
достигается при Проверим, достигает ли функция 
при своего наибольшего значения, равного 
Следовательно, графики пересекаются а точке 
и система имеет решение 
Значение абсциссы точки пересечения является корнем исходного уравнения.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |