Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3959

Решите уравнение  синус Пи x плюс косинус Пи x=2 в степени ( \textstyle \log ) _3 корень из (x) в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 16 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим выражение, стоящее в левой части уравнения. Для того чтобы оценить значение данного тригонометрического выражения, воспользуемся методом введения вспомогательного аргумента:

 корень из 2 левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби синус Пи x плюс синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби косинус Пи x правая круглая скобка = корень из 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи x правая круглая скобка равносильно
 равносильно минус 1 меньше или равно синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно минус корень из 2 меньше или равно корень из 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи x правая круглая скобка меньше или равно корень из 2 .

Данное выражение принимает свое наибольшее значение  корень из 2 при  синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи x правая круглая скобка =1. Найдем соответствующие значения x:

 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи x правая круглая скобка =1 равносильно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2n, n принадлежит Z .

Рассмотрим выражение, стоящее в правой части уравнения. Используя свойства логарифма, преобразуем это выражение:

 логарифм по основанию 3 корень из (x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби плюс дробь: числитель: 48, знаменатель: 16 конец дроби ) = логарифм по основанию 3 корень из ( левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 3) = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 3 правая круглая скобка в степени (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка .

Отсюда, по свойству степени, имеем:

2 в степени ( \textstyle логарифм по основанию 3 корень из (x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 16 конец дроби ) ) =2 в степени ( \textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка ) = левая круглая скобка 2 в степени ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) правая круглая скобка в степени (\textstyle логарифм по основанию 3 левая круглая скобка \textstyle левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка ) =
= корень из 2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка ) = корень из 2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка ) .

Так как логарифмическая функция с основанием 3 является возрастающей, то, значит, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Откуда получаем следующую оценку значения выражения, стоящего в правой части:

 левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 3 больше или равно 3 равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 3 3=1.

Степенная функция с основанием  корень из 2 является возрастающей, так как  корень из 2 больше 1:

 корень из 2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка ) больше или равно корень из 2 в степени ( логарифм по основанию 3 3) равносильно корень из 2 в степени (\textstyle логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка ) больше или равно корень из 2 ,

причем равенство достигается при x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . Сравнивая значения левой и правой частей уравнения, приходим к выводу, что равенство будет верным только при тех значениях x, при которых значения выражений, стоящих в левой и в правой частях, достигают значения  корень из 2 одновременно. При x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби в правой части исходного уравнения получим  корень из 2 , как мы уже показали выше. В левой части имеем:

 синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби = корень из 2 .

Итак,  корень из 2 = корень из 2 верно. Так как значение  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби обращает уравнение в верное равенство, то оно и будет являться корнем данного уравнения.

 

Ответ: \left \ дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \.

 

Комментарий. Типичной ошибкой при оценке тригонометрического выражения вида  синус a плюс косинус a является формальное применение свойств неравенств. Правильно записывая ограничения на значения  синус a и  косинус a, получим  минус 1 меньше или равно синус a меньше или равно 1 и  минус 1 меньше или равно косинус a меньше или равно 1, учащиеся приходят к неравенству

 минус 2 меньше или равно синус a плюс косинус a меньше или равно 2

неверно делают вывод, что наибольшее (наименьшее) значение суммы равно 2 (на −2, соответственно). На самом деле значение, равное 2, не достигается, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству  синус в квадрате a плюс косинус в квадрате a=1, т. е. одновременно синус и косинус одного и того же аргумента не могут достигать значения, равного 1. Но справедливо неравенство

 минус 2 меньше или равно минус корень из 2 меньше или равно синус a плюс косинус a меньше или равно корень из 2 меньше или равно 2.

Причем в общеобразовательных классах для работы над этой распространенной ошибкой можно предложить следующие вопросы:

1) Верно ли неравенство  минус 4 меньше или равно синус a плюс косинус a меньше или равно 5?

 

Ответ: верно.

Обоснование. Так как  минус корень из 2 меньше или равно синус a плюс косинус a меньше или равно корень из 2 и  минус 4 меньше или равно минус корень из 2 , то  корень из 2 меньше или равно 5, то по свойствам неравенств имеем:

 минус 4 меньше или равно минус корень из 2 меньше или равно синус a плюс косинус a меньше или равно корень из 2 меньше или равно 5,

следовательно,  минус 4 меньше или равно синус a плюс косинус a меньше или равно 5.

2) Можно ли, используя верное неравенство  минус 4 меньше или равно синус a плюс косинус a меньше или равно 5, сделать вывод, что наибольшее значение суммы синуса и косинуса одного и того же аргумента будет равно 5?

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3965

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2000 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Показательные уравнения и их системы, Тригонометрические уравнения , Уравнения и неравенства смешанного типа
?
Сложность: 6 из 10