Рас­смот­рим вы­ра­же­ние, сто­я­щее в левой части урав­не­ния. Для того чтобы оце­нить зна­че­ние дан­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го вы­ра­же­ния, вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом вве­де­ния вспо­мо­га­тель­но­го ар­гу­мен­та:

Дан­ное вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет свое наи­боль­шее зна­че­ние при Най­дем со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния x:

Рас­смот­рим вы­ра­же­ние, сто­я­щее в пра­вой части урав­не­ния. Ис­поль­зуя свой­ства ло­га­риф­ма, пре­об­ра­зу­ем это вы­ра­же­ние:

От­сю­да, по свой­ству сте­пе­ни, имеем:

Так как ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция с ос­но­ва­ни­ем 3 яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей, то, зна­чит, боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции. От­ку­да по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щую оцен­ку зна­че­ния вы­ра­же­ния, сто­я­ще­го в пра­вой части:

Сте­пен­ная функ­ция с ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей, так как

при­чем ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся при Срав­ни­вая зна­че­ния левой и пра­вой ча­стей урав­не­ния, при­хо­дим к вы­во­ду, что ра­вен­ство будет вер­ным толь­ко при тех зна­че­ни­ях x, при ко­то­рых зна­че­ния вы­ра­же­ний, сто­я­щих в левой и в пра­вой ча­стях, до­сти­га­ют зна­че­ния од­но­вре­мен­но. При в пра­вой части ис­ход­но­го урав­не­ния по­лу­чим как мы уже по­ка­за­ли выше. В левой части имеем:

Итак, верно. Так как зна­че­ние об­ра­ща­ет урав­не­ние в вер­ное ра­вен­ство, то оно и будет яв­лять­ся кор­нем дан­но­го урав­не­ния.

Ответ:

Ком­мен­та­рий. Ти­пич­ной ошиб­кой при оцен­ке три­го­но­мет­ри­че­ско­го вы­ра­же­ния вида яв­ля­ет­ся фор­маль­ное при­ме­не­ние свойств не­ра­венств. Пра­виль­но за­пи­сы­вая огра­ни­че­ния на зна­че­ния и по­лу­чим и уча­щи­е­ся при­хо­дят к не­ра­вен­ству

не­вер­но де­ла­ют вывод, что наи­боль­шее (наи­мень­шее) зна­че­ние суммы равно 2 (на −2, со­от­вет­ствен­но). На самом деле зна­че­ние, рав­ное 2, не до­сти­га­ет­ся, так как это про­ти­во­ре­чит ос­нов­но­му три­го­но­мет­ри­че­ско­му тож­де­ству т. е. од­но­вре­мен­но синус и ко­си­нус од­но­го и того же ар­гу­мен­та не могут до­сти­гать зна­че­ния, рав­но­го 1. Но спра­вед­ли­во не­ра­вен­ство

При­чем в об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных клас­сах для ра­бо­ты над этой рас­про­стра­нен­ной ошиб­кой можно пред­ло­жить сле­ду­ю­щие во­про­сы:

1)  Верно ли не­ра­вен­ство

Ответ: верно.

Обос­но­ва­ние. Так как и то то по свой­ствам не­ра­венств имеем:

сле­до­ва­тель­но,

2)  Можно ли, ис­поль­зуя вер­ное не­ра­вен­ство сде­лать вывод, что наи­боль­шее зна­че­ние суммы си­ну­са и ко­си­ну­са од­но­го и того же ар­гу­мен­та будет равно 5?