PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Рассмотрим выражение, стоящее в левой части уравнения. Для того чтобы оценить значение данного тригонометрического выражения, воспользуемся методом введения вспомогательного аргумента:
Данное выражение принимает свое наибольшее значение 
при 
Найдем соответствующие значения x:
Рассмотрим выражение, стоящее в правой части уравнения. Используя свойства логарифма, преобразуем это выражение:
Отсюда, по свойству степени, имеем:
Так как логарифмическая функция с основанием 3 является возрастающей, то, значит, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Откуда получаем следующую оценку значения выражения, стоящего в правой части:
Степенная функция с основанием является возрастающей, так как 
причем равенство достигается при 
Сравнивая значения левой и правой частей уравнения, приходим к выводу, что равенство будет верным только при тех значениях x, при которых значения выражений, стоящих в левой и в правой частях, достигают значения одновременно. При 
в правой части исходного уравнения получим 
как мы уже показали выше. В левой части имеем:
Итак, 
верно. Так как значение 
обращает уравнение в верное равенство, то оно и будет являться корнем данного уравнения.
Ответ: 
Комментарий. Типичной ошибкой при оценке тригонометрического выражения вида 
является формальное применение свойств неравенств. Правильно записывая ограничения на значения 
и 
получим 
и 
учащиеся приходят к неравенству
неверно делают вывод, что наибольшее (наименьшее) значение суммы равно 2 (на −2, соответственно). На самом деле значение, равное 2, не достигается, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству 
т. е. одновременно синус и косинус одного и того же аргумента не могут достигать значения, равного 1. Но справедливо неравенство
Причем в общеобразовательных классах для работы над этой распространенной ошибкой можно предложить следующие вопросы:
1) Верно ли неравенство 
Ответ: верно.
Обоснование. Так как 
и 
то 
то по свойствам неравенств имеем:
следовательно, 
2) Можно ли, используя верное неравенство 
сделать вывод, что наибольшее значение суммы синуса и косинуса одного и того же аргумента будет равно 5?
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
верно.Обоснование. Так как и то то по свойствам неравенств имеем:
следовательно,
2) Можно ли, используя верное неравенство сделать вывод, что наибольшее значение суммы синуса и косинуса одного и того же аргумента будет равно 5?
верно.Обоснование. Так как и то то по свойствам неравенств имеем:
следовательно,
2) Можно ли, используя верное неравенство сделать вывод, что наибольшее значение суммы синуса и косинуса одного и того же аргумента будет равно 5?