Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3911
i

Пред­ставь­те число 8 в виде суммы трех по­ло­жи­тель­ных сла­га­е­мых так, чтобы сумма кубов двух пер­вых сла­га­е­мых и тре­тье­го, умно­жен­но­го на 9, была наи­мень­шей, если из­вест­но, что пер­вое сла­га­е­мое в два раза боль­ше вто­ро­го.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть x  — вто­рое сла­га­е­мое, тогда 2x пер­вое, а тре­тье равно 8 минус 3x. По­сколь­ку все сла­га­е­мые по­ло­жи­тель­ные, то 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Рас­смот­рим сумму кубов двух пер­вых сла­га­е­мых и тре­тье­го, умно­жен­но­го на 9, как функ­цию f(х):

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе плюс левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс 9 левая круг­лая скоб­ка 8 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка = 9x в кубе минус 27x плюс 72.

Най­дем наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Ее про­из­вод­ная равна f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =27x в квад­ра­те минус 27. На про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль толь­ко в точке x=1. При­чем, если x мень­ше 1, то про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­ная, а если x боль­ше 1, то по­ло­жи­тель­ная. Сле­до­ва­тель­но, x=1 точка ми­ни­му­ма, и в ней функ­ция при­ни­ма­ет свое наи­мень­шее зна­че­ние на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке. Итак, вто­рое сла­га­е­мое равно 1. На­хо­дим осталь­ные сла­га­е­мые: 2 и 5.

 

Ответ: 8 = 2 плюс 1 плюс 5 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3917

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1999 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 6 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025