PDF-версии: 
Представьте число 8 в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы сумма кубов двух первых слагаемых и третьего, умноженного на 9, была наименьшей, если известно, что первое слагаемое в два раза больше второго.
Решение. Пусть x — второе слагаемое, тогда 2x первое, а третье равно 
Поскольку все слагаемые положительные, то 
Рассмотрим сумму кубов двух первых слагаемых и третьего, умноженного на 9, как функцию f(х):
Найдем наименьшее значение этой функции на промежутке 
Ее производная равна 
На промежутке 
производная обращается в нуль только в точке 
Причем, если 
то производная отрицательная, а если 
то положительная. Следовательно, 
точка минимума, и в ней функция принимает свое наименьшее значение на рассматриваемом промежутке. Итак, второе слагаемое равно 1. Находим остальные слагаемые: 2 и 5.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |