PDF-версии: 
Известно, что прямая, заданная уравнением 
является касательной к графику функции 
Найдите координаты точки касания.
Решение. Функция 
определена и дифференцируема на ℝ. Обратимся к геометрическому смыслу производной. Так 
где k — угловой коэффициент касательной к графику функции в точке 
Найдем производную в точке с абсциссой 
то
Угловой коэффициент касательной равен −10, поэтому абсцисса точки касания удовлетворяет уравнению
Найдем ординаты точек касания: 
и
Проверим, удовлетворяют ли полученные значения x и у уравнению данной прямой. Проверим оба корня: первый является действительным 
второй нет, т. к.
Таким образом, прямая, заданная уравнением касается графика функции 
в точке 
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |