Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3760
i

Число 15 пред­ставь­те в виде суммы двух по­ло­жи­тель­ных сла­га­е­мых так, чтобы про­из­ве­де­ние квад­ра­та пер­во­го из них на вто­рое было наи­боль­шим.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим пер­вое сла­га­е­мое через х, тогда вто­рое равно 15 − х. По усло­вию за­да­чи 0 мень­ше x мень­ше 15. Про­из­ве­де­ние квад­ра­та пер­во­го сла­га­е­мо­го на вто­рое равно x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 15 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка . Пусть f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 15 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка . Тогда за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию точки на ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка 0; 15 пра­вая круг­лая скоб­ка , в ко­то­рой функ­ция f(x) до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния. Про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =30x минус 3x в квад­ра­те =3x левая круг­лая скоб­ка 10 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 в точке 0 \notin левая круг­лая скоб­ка 0; 15 пра­вая круг­лая скоб­ка и 10 при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 15 пра­вая круг­лая скоб­ка . Функ­ция f(x) не­пре­рыв­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 15 пра­вая круг­лая скоб­ка , при­чем при 0 мень­ше x мень­ше 10 про­из­вод­ная f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, а при 10 мень­ше x мень­ше 15 про­из­вод­ная f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0. Сле­до­ва­тель­но, x=10  — точка мак­си­му­ма. Так как функ­ция f(x) имеет един­ствен­ный экс­тре­мум на дан­ном ин­тер­ва­ле и это  — мак­си­мум, то он и яв­ля­ет­ся наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции f(x) на ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка 0; 15 пра­вая круг­лая скоб­ка , т. е.

\max_ левая круг­лая скоб­ка 0; 15 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка 10 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ответ: 15=10 плюс 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3754

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1997 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 5 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025