PDF-версии: 
Число 15 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение квадрата первого из них на второе было наибольшим.
Решение. Обозначим первое слагаемое через х, тогда второе равно 15 − х. По условию задачи 
Произведение квадрата первого слагаемого на второе равно 
Пусть 
Тогда задача сводится к нахождению точки на интервале 
в которой функция f(x) достигает своего наибольшего значения. Производная функции f(x) равна
откуда 
в точке 
и 
Функция f(x) непрерывна и дифференцируема при 
причем при 
производная 
а при 
производная 
Следовательно, 
— точка максимума. Так как функция f(x) имеет единственный экстремум на данном интервале и это — максимум, то он и является наибольшим значением функции f(x) на интервале т. е.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |