Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3731
i

Най­ди­те наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ния функ­ции y=4 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 27 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 24 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть t=2 в сте­пе­ни x , при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка мно­же­ство зна­че­ний t со­став­ля­ет от­ре­зок  левая квад­рат­ная скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ; 2 в сте­пе­ни 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то есть от­ре­зок  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Рас­смот­рим функ­цию g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =4t в кубе минус 27t в квад­ра­те плюс 24t и опре­де­лим ее наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Эти зна­че­ния и буду ис­ход­ны­ми. Най­дем про­из­вод­ную:

g' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =12t в квад­ра­те минус 54t плюс 24=6 левая круг­лая скоб­ка 2t в квад­ра­те минус 9t плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =6 левая круг­лая скоб­ка 2t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Изоб­ра­зим по­ве­де­ния функ­ции и знаки про­из­вод­ной на ри­сун­ке. Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на пра­вом или левом конце от­рез­ка, g левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 минус 27 плюс 24=1 и

g левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе минус 27 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 24 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс 6=6 минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Мень­шее из этих зна­че­ний равно 1.Наи­боль­шее зна­че­ние g(t) на за­да­ан­ном от­рез­ке до­сти­га­ет­ся в точке мак­си­му­ма, по­лу­чим

 \max_ левая квад­рат­ная скоб­ка \tfrac14; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =g_\max=g левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе минус 27 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 24 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 12= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус целая часть: 6, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 плюс 12= дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: 1  — наи­мень­шее зна­че­ние;  дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби   — наи­боль­шее зна­че­ние.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3737

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1996 год, ра­бо­та 6, ва­ри­ант 1
? Классификатор: За­да­чи на наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции
?
Сложность: 6 из 10