Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3640
i

Ре­ши­те урав­не­ние  ко­си­нус 3x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус 3x=2 ко­си­нус x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу двумя спо­со­ба­ми.

Ⅰ  спо­соб. Решим ис­ход­ное вы­ра­же­ние

2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­си­нус x рав­но­силь­но ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус x рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =x плюс 2 Пи k,3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус x плюс 2 Пи n конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k,x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k, n при­над­ле­жит Z .

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби : k, n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

 

Ⅱ  спо­соб. Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное вы­ра­же­ния

 ко­си­нус 3x= ко­си­нус в кубе x минус 3 ко­си­нус x синус в квад­ра­те x рав­но­силь­но синус 3x=3 ко­си­нус в квад­ра­те x синус x минус синус в кубе x.

Под­ста­вим в ис­ход­ное урав­не­ние

 ко­си­нус в кубе x минус 3 ко­си­нус x синус в квад­ра­те x минус ко­рень из 3 левая круг­лая скоб­ка 3 ко­си­нус в квад­ра­те x синус x минус синус в кубе x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x плюс синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка . \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

Так как мно­же­ство ре­ше­ний урав­не­ния  ко­си­нус x=0 не со­дер­жит кор­ней урав­не­ния (1), то, раз­де­лив обе части урав­не­ния (1) на  ко­си­нус в кубе x, по­лу­чим рав­но­силь­ное урав­не­ние

1 минус 3 тан­генс в квад­ра­те x минус ко­рень из 3 левая круг­лая скоб­ка 3 тан­генс x минус тан­генс в кубе x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 плюс 2 тан­генс в квад­ра­те x рав­но­силь­но ко­рень из 3 тан­генс в кубе x минус 5 тан­генс в квад­ра­те x минус 3 ко­рень из 3 тан­генс x минус 1=0.

Пусть  тан­генс x= дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби , тогда

 дробь: чис­ли­тель: t в кубе , зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5t в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби минус 3t минус 1=0 рав­но­силь­но t в кубе минус 5t в квад­ра­те минус 9t минус 3=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но t в кубе плюс t в квад­ра­те минус 6t в квад­ра­те минус 6t минус 3t минус 3=0 рав­но­силь­но t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6t левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 6t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= минус 1,t в квад­ра­те минус 6t минус 3=0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= минус 1,t=3 \pm 2 ко­рень из 3 . конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к за­ме­не пе­ре­мен­ной

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний тан­генс x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 3 конец дроби , тан­генс x= 3 \pm 2 ко­рень из 3 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k,x= арк­тан­генс левая круг­лая скоб­ка 3 \pm 2 ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс Пи m, конец со­во­куп­но­сти . k, m при­над­ле­жит Z .

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; арк­тан­генс левая круг­лая скоб­ка 3 \pm 2 ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс Пи m : k, m при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

Мы спе­ци­аль­но при­ве­ли столь гро­мозд­кое ре­ше­ние, чтобы чи­та­тель

1)  мог на его фоне оце­нить более ко­рот­кое;

2)  со­гла­сил­ся с нами, что за такое ре­ше­ние не стоит ста­вить не­до­чет, счи­тая его не­ра­ци­о­наль­ным;

3)  уви­дел ин­те­рес­ный прием пе­ре­хо­да к од­но­род­но­му урав­не­нию (3-й сте­пе­ни);

4)  убе­дил­ся, что форма от­ве­та за­ви­сит от спо­со­ба ре­ше­ния за­да­чи; уче­ник не обя­зан ви­деть, что мно­же­ство

чисел x= арк­тан­генс левая круг­лая скоб­ка 3 \pm 2 ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс Пи m, сов­па­да­ет с мно­же­ством чисел

x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , n при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3634

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 8, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 5 из 10