Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3634
i

Ре­ши­те урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 3x плюс синус 3x=2 синус x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу двумя спо­со­ба­ми.

Ⅰ  спо­осб. Раз­де­лив обе части урав­не­ния на 2, по­лу­чим

 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус 3x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 3x= синус x рав­но­силь­но синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­си­нус 3x плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на синус 3x= синус x рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но синус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус x=0 рав­но­силь­но 2 синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0, ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = Пи m,2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи m, x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . m, n при­над­ле­жит Z .

Как видно из ри­сун­ка, эти две серии ре­ше­ний не имеют общих чисел. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи m,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . m, n при­над­ле­жит Z .

 

 

За­ме­ча­ние. Спо­соб ана­ло­гич­ный дан­но­му дает и при­ме­не­ние фор­мул пре­об­ра­зо­ва­ния вы­ра­же­ний типа a ко­си­нус a плюс b синус a, в дан­ном слу­чае

 ко­рень из 3 ко­си­нус 3x плюс синус 3x=2 синус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

 

Ⅱ  спо­осб. Ис­ход­ное вы­ра­же­ние

 ко­рень из 3 ко­си­нус 3x плюс левая круг­лая скоб­ка синус 3x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус x=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ко­рень из 3 ко­си­нус 3x плюс 2 синус x умно­жить на ко­си­нус 2x минус синус x=0 рав­но­силь­но ко­рень из 3 ко­си­нус 3x плюс синус x левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Так как

 ко­си­нус 3x= ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус ко­си­нус 2x минус синус x синус 2x= ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x минус 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

то

 ко­рень из 3 левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс синус x левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 3 ко­си­нус x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

что при­во­дит нас к про­стей­ше­му три­го­но­мет­ри­че­ско­му урав­не­нию

 ко­си­нус 2x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z .

Вер­нем­ся к од­но­род­но­му урав­не­нию

 синус x плюс ко­рень из 3 ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но тан­генс x= минус ко­рень из 3 рав­но­силь­но x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи n; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k : n, k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3640

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 8, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 5 из 10