Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3609

Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции y=x в квадрате умножить на \ln x.

Спрятать решение

Решение.

Данная функция определена и дифференцируема на (0; плюс принадлежит fty ). Производная равна

y'=2 x\ln x плюс x в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби равносильно y'=x(2\ln x плюс 1).

Функция имеет единственную критическую точку: (2\ln x плюс 1)=0, т. е. x=e в степени (\textstyle минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) . Поскольку  минус 1 меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 1 и функция e^t — монотонно возрастающая, положительная на ℝ, то 0 меньше e в степени ( минус 1) меньше e в степени (\textstyle минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) меньше e.

y'(e в степени ( минус 1) })=e в степени ( минус 1) (2\ln e в степени ( минус 1) плюс 1)=e в степени ( минус 1) ( минус 2 плюс 1)= минус e в степени ( минус 1) меньше 0 равносильно y'(e)=e(2\ln e плюс 1)=3e больше 0.

Таким образом, в силу непрерывности функции y' на (0; плюс принадлежит fty ), мы получаем знаки значений производной (см. рис.) и соответствующую им монотонность функции y. Найдем

y левая круглая скобка e в степени (\textstyle минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) правая круглая скобка = левая круглая скобка e в степени (\textstyle минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) правая круглая скобка в квадрате \ln e в степени (\textstyle минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2e конец дроби .

Ответ:  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (e) конец дроби правая квадратная скобка  — промежуток убывания;  левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (e) конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка  — промежуток возрастания; y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2e конец дроби  — экстремум (минимум).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3615

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1995 год, работа 6, вариант 1
? Классификатор: Исследование функций
?
Сложность: 4 из 10