Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3609
i

Най­ди­те про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти и экс­тре­му­мы функ­ции y=x в квад­ра­те умно­жить на на­ту­раль­ный ло­га­рифм x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Дан­ная функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на  левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Про­из­вод­ная равна

y'=2 x на­ту­раль­ный ло­га­рифм x плюс x в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби рав­но­силь­но y'=x левая круг­лая скоб­ка 2 на­ту­раль­ный ло­га­рифм x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Функ­ция имеет един­ствен­ную кри­ти­че­скую точку:  левая круг­лая скоб­ка 2 на­ту­раль­ный ло­га­рифм x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, т. е. x=e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . По­сколь­ку  минус 1 мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 1 и функ­ция e^t  — мо­но­тон­но воз­рас­та­ю­щая, по­ло­жи­тель­ная на ℝ, то 0 мень­ше e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше e.

y' левая круг­лая скоб­ка e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка } пра­вая круг­лая скоб­ка =e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 на­ту­раль­ный ло­га­рифм e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но y' левая круг­лая скоб­ка e пра­вая круг­лая скоб­ка =e левая круг­лая скоб­ка 2 на­ту­раль­ный ло­га­рифм e плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =3e боль­ше 0.

Таким об­ра­зом, в силу не­пре­рыв­но­сти функ­ции y' на  левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , мы по­лу­ча­ем знаки зна­че­ний про­из­вод­ной (см. рис.) и со­от­вет­ству­ю­щую им мо­но­тон­ность функ­ции y. Най­дем

y левая круг­лая скоб­ка e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те на­ту­раль­ный ло­га­рифм e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2e конец дроби .

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: e конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка   — про­ме­жу­ток убы­ва­ния;  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: e конец ар­гу­мен­та конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка   — про­ме­жу­ток воз­рас­та­ния; y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2e конец дроби   — экс­тре­мум (ми­ни­мум).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3615

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 6, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 4 из 10