Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3605
i

При каких по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра b пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y= минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та , y=x, x=b и x=9b равна  целая часть: 57, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 ?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем общие точки линий (см. рис.).

1)  Если y= минус ко­рень из x и y=x, то O левая круг­лая скоб­ка 0; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ;

2)  Если y= минус ко­рень из x и x=b, то M левая круг­лая скоб­ка b; минус ко­рень из b пра­вая круг­лая скоб­ка ;

3)  Если y= минус ко­рень из x и x=9b, то N левая круг­лая скоб­ка 9b; минус 3 ко­рень из b пра­вая круг­лая скоб­ка ;

4)  Если y=x и x=b, то K левая круг­лая скоб­ка b; b пра­вая круг­лая скоб­ка ;

5)  Если y= x и x=9b, то P левая круг­лая скоб­ка 9b; 9 b пра­вая круг­лая скоб­ка ;

Ис­ко­мая пло­щадь равна сумме пло­ща­дей двух фигур (см. рис.):

 S_AKPB = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AB умно­жить на левая круг­лая скоб­ка AK плюс BP пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 8b левая круг­лая скоб­ка b плюс 9b пра­вая круг­лая скоб­ка =40b в квад­ра­те

и

 S_ABNM = ин­те­грал пре­де­лы: от b до 9b, \left ко­рень из x dx = \left дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x ко­рень из x | пре­де­лы: от b до 9b, = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 9b умно­жить на 3 ко­рень из b минус b ко­рень из b пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 52, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби b ко­рень из b ,

тогда S_общая=40b в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 52, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби b ко­рень из b . Со­ста­вим ито­го­вую си­сте­му

 си­сте­ма вы­ра­же­ний 40b в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 52, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби b ко­рень из b = целая часть: 57, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 , \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка b боль­ше 0. конец си­сте­мы .

Рас­смот­рим функ­цию f левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка =40b в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 52, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби b ко­рень из b . Она воз­рас­та­ет на  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , так как f' левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка =80b плюс 26 ко­рень из b и f' левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, то

f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =40 плюс целая часть: 17, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 = целая часть: 57, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 .

Таким об­ра­зом, при 0 мень­ше или равно b мень­ше 1, по­лу­чим f левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше целая часть: 57, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 , а при b боль­ше 1, по­лу­чим f левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше целая часть: 57, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 . Сле­до­ва­тель­но, един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­мы (1) b=1.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

При­ме­ча­ние.

К со­жа­ле­нию, в ра­бо­тах, на­прав­лен­ных в школы, усло­вие со­дер­жа­ло опе­чат­ку: вме­сто x=b, x =9b, было ука­за­но y=b, y=9b. В этом слу­ча­ем фи­гу­ра не по­лу­ча­ет­ся.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3599

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 6 из 10