№ 3587 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 20. Найти первообразную, интеграл
i
Найдите те первообразные функции 
графики которых имеют с графиком функции 
ровно две общие точки.
Решение. Данная функция непрерывна на ℝ, а ее первообразные имеют вид
где c — произвольная постоянная. Таким образом, условие задачи можно переформулировать следующим образом: найти все такие числа c, для каждого из которых уравнение
имеет два различных действительных корня. Подставив каждое такое число в формулу (1), получим ответ задачи
Это уравнение имеет два корня тогда и только тогда, когда функция 
значение ноль ровно два раза. Производная
найдем ее критические точки:
Тогда 
на 
и 
на 
Таким образом, на 
функция 
возрастает, принимая значения от 
до 
на 
эта функция убывает от значения 
до 
На 
функция 
возрастает от значения 
до 
Следовательно, эта функция принимает ровно один раз значения большие 
или меньшие 
и ровно три раза принимает любое значение a, такое, что 
Каждое из значений или функция принимает ровно два раза. Таким образом, для выполнения условий задачи необходимо и достаточно, чтобы
Ответ: 
и 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: и
Задание парного варианта: 3593
