№ 3569 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 24. Задачи с параметром в анализе
i
При каких значениях параметра a функция 
имеет ровно один экстремум на интервале 
Решение. Данная функция определена и дифференцируема на ℝ. Ее производная
Критических точек ровно две: х = 0 и х = 6 . Так как в каждой из них меняется знак производной, то это и точки экстремумов. Других точек экстремумов нет. Если 
т. е. 
то на 
нет критических точек. На этом отрезке находится всего одна критическая точка х = 0 тогда и только тогда, когда выполняется система неравенств
т. е. при 
— см. рис. На отрезке 
находятся обе критические точки тогда и только тогда, когда
При выполнении системы неравенств
на отрезке находится ровно одна критическая точка х = 6.
Решая эту систему (рис. 2), получаем
Наконец, когда 
на отрезке нет точек экстремумов.
Ответ: 
Примечание.
Данное решение несколько избыточно, но в нем полностью и наглядно исследуется ситуация, поскольку все значения параметра последовательно перебираются «слева направо».
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 3563
