Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3551
i

Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус ко­си­нус конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те 3x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Эту за­да­чу можно ре­шить двумя спо­со­ба­ми:

1-й спо­соб. Пе­ре­пи­шем вы­ра­же­ние для функ­ции в виде

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус левая круг­лая скоб­ка 4 ко­си­нус в кубе x минус 3 ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

Тогда для су­ще­ство­ва­ния функ­ции f(x) не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы 4 ко­си­нус в кубе x минус 3 ко­си­нус x=0, что рав­но­силь­но со­во­куп­но­сти ра­венств

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x=0, ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , ко­си­нус x= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния функ­ции: при  ко­си­нус x=0, то f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; при  ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 плюс ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; при  ко­си­нус x= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 минус ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

При­ме­ча­ние.

Дан­ный спо­соб ре­ше­ния преду­смат­ри­ва­ет ис­поль­зо­ва­ние фор­му­лы  ко­си­нус 3a=4 ко­си­нус в кубе a минус 3 ко­си­нус a, ко­то­рую уча­щий­ся может вы­ве­сти в про­цес­се ре­ше­ния за­да­чи. По­ка­жем спо­соб, в ко­то­ром дан­ная фор­му­ла не ис­поль­зу­ет­ся.

 

2-й спо­соб. Рас­смот­рим

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус ко­си­нус конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те 3x рав­но­силь­но f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус { ко­си­нус конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те 3x.

Для су­ще­ство­ва­ния f(x) не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но:  ко­си­нус 3x=0, т. е.

3x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k рав­но­силь­но x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

где k  — целое число. Таким об­ра­зом, об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции f(х) со­сто­ит из чисел вида x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , где k  — целое. На три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти эти числа со­от­вет­ству­ют точ­кам x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, x= \pm дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи l, где n, m, l  — целые числа. Со­от­вет­ствен­но абс­цис­сы этих точек (ко­си­ну­сы этих чисел) есть  \pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и 0, а со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния функ­ции  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3557

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 6 из 10