Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3532
i

Най­ди­те все такие по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра b, что функ­ция y= на­ту­раль­ный ло­га­рифм x минус bx в квад­ра­те убы­ва­ет на ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную

y'= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x минус 2bx конец дроби рав­но­силь­но y'= дробь: чис­ли­тель: 1 минус 2bx в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x конец дроби .

При b боль­ше 0 един­ствен­ная кри­ти­че­ская точка x_0= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2b конец ар­гу­мен­та конец дроби (см. рис.).

Най­дем зна­че­ние функ­ции в точ­ках

y' левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из b конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но y' левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из b минус 2 ко­рень из b мень­ше 0.

Таким об­ра­зом, функ­ция y= на­ту­раль­ный ло­га­рифм x минус bx в квад­ра­те , при b боль­ше 0, убы­ва­ет на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2b конец ар­гу­мен­та конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Для того, чтобы функ­ция убы­ва­ла на  левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , не­об­хо­ди­мо, чтобы про­ме­жу­ток  левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жал про­ме­жут­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2b конец ар­гу­мен­та конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , а это воз­мож­но лишь в том слу­чае, когда  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2b конец ар­гу­мен­та конец дроби мень­ше или равно 2, т. е.  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2b конец дроби мень­ше или равно 4. При b боль­ше 0 по­лу­чим 1 мень­ше или равно 8b или b боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3526

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 9, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 5 из 10