При каких значениях параметра b уравнение 
имеет единственное решение?
Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Данное уравнение
равносильно системе
Уравнение
имеет корни, если его дискриминант неотрицателен, тогда 
При 
уравнение (2), а значит, и уравнение (1) не имеет корней. При 
уравнение (2) имеет единственный корень 
который удовлетворяет системе, а значит, и уравнению (1). При 
уравнение (2) имеет два корня. Нас устроит только тот случай, когда один из этих корней 
а другой 
Другими словами, либо число −3 лежит между корнями, либо 
а
В случае, если 
значение квадратного трехчлена 
в точке 
отрицательно (поскольку ветви соответствующей параболы при любом b направлены вверх), т. е. 
тогда 
В случае, если 
получим 
т. е. 
где корнями уравнения являются 
и 
оба этих решения удовлетворяют системе, значит, уравнение (1) имеет два корня, и этот случай не подходит.
Ответ: 
Ⅱ способ. Уравнение (1) может быть рассмотрено как равенство значений двух функций 
и 
График функции 
прямая (см. рис.). График функции 
— это ветвь параболы 
с вершиной на оси Ox 
Если вершина параболы лежит левее точки 
т. е. 
то точка пересечения всего одна; если вершина находится в точке 
то имеется две точки пересечения (см. рис.).
Далее, при уменьшении значений параметра b точек пересечения будет две до тех пор, пока прямая не станет касательной к графику функции 
Угловой коэффициент наклона прямой равен 1, т. е. для абсциссы 
точки касания необходимо 
тогда
Эта точка должна лежать и на прямой, и на ветви параболы, т. е.
При точка пересечения также единственна. Далее, при точек пересечения графиков не будет.
Задание парного варианта: 3503